4^{4} QUESTAO (2,5 pontos)

a) Defina base e dimensio de espaço vetorial.
Considere o conjunto S=\left(v_{1}=(1,0,-1,2), v_{2}=(1,1,1,0), v_{3}=(1,1,0,1), v_{4}=(1,0,1,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{4} c o subespaço vetorial W=L(S).
b) Determine uma base e a dimensio de W.
c) Determine se \mathbf{v}=(1,1,1,1) \in W.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pertence ao conteúdo de espaços vetoriais em álgebra linear. Ele pede:
a) a definição de base e dimensão de um espaço vetorial;
b), c) trabalhar com o subespaço W=\langle S\rangle gerado pelos vetores
v_{1}=(1,0,-1,2),\;v_{2}=(1,1,1,0),\;v_{3}=(1,1,0,1),\;v_{4}=(1,0,1,1)\subset\mathbb{R}^{4},
determinando uma base e a dimensão de W e verificando se \mathbf{v}=(1,1,1,1) pertence a W;
d) aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.

Passo 2

Definições teóricas que vamos usar:
– Uma coleção de vetores \{u_{1},\dots,u_{k}\} em um espaço vetorial V é chamada de base de V se eles são linearmente independentes e geram V.
– A dimensão de V, denotada \dim V, é o número de vetores de qualquer base de V.

Passo 3

Para achar a base e a dimensão de W=\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\rangle, montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e verificamos independência linear por eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{eliminação}}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.çã
Há pivôs em todas as 4 colunas, logo \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é um conjunto de 4 vetores LI em \mathbb{R}^4. Portanto eles geram um subespaço de dimensão 4. Como \dim\mathbb{R}^{4}=4, conclui-se que W=\mathbb{R}^{4} e
\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}
é uma base de W com \dim W=4.

Passo 4

Para saber se \mathbf{v}=(1,1,1,1) está em W, basta notar que W=\mathbb{R}^{4}, de modo que todo vetor de \mathbb{R}^{4} pertence a W. Em particular \mathbf{v}\in W.
Se quisermos achar explicitamente coeficientes a,b,c,d tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4}=\mathbf{v},
resolvendo o sistema você encontra
a=-1,\;b=-1,\;c=2,\;d=1.

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}:
  1. Definimos u_{1}=v_{1}.
  2. Como v_{2}\cdot u_{1}=0, tomamos u_{2}=v_{2}.
  3. Para v_{3}, retiramos projeções sobre u_{1} e u_{2}:
u_{3}=v_{3}-\frac{v_{3}\cdot u_{1}}{u_{1}\cdot u_{1}}\,u_{1} -\frac{v_{3}\cdot u_{2}}{u_{2}\cdot u_{2}}\,u_{2} =(-\tfrac16,\tfrac13,-\tfrac16,0).
Multiplicando por 6, obtemos o vetor ortogonal (-1,2,-1,0).
4. Para v_{4}, retiramos projeções sobre u_{1},u_{2},u_{3} (usando a versão escalonada de u_{3}):
u_{4}=v_{4}-\mathrm{proj}_{u_{1}}v_{4}-\mathrm{proj}_{u_{2}}v_{4}-\mathrm{proj}_{(-1,2,-1,0)}v_{4} =(-\tfrac13,0,\tfrac13,\tfrac13),
e multiplicando por 3 obtemos (-1,0,1,1).
Portanto uma base ortogonal de W é
\{(1,0,-1,2),\;(1,1,1,0),\;(-1,2,-1,0),\;(-1,0,1,1)\}.

Resposta

a) Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço; a dimensão é o número de vetores em qualquer base.
b) \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é base de W, \dim W=4.
c) Sim, \mathbf{v}=(1,1,1,1)\in W.
d) Uma base ortogonal de W é
\{(1,0,-1,2),\;(1,1,1,0),\;(-1,2,-1,0),\;(-1,0,1,1)\}.

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