Considere o conjunto S=\left(v_{1}=(1,0,-1,2), v_{2}=(1,1,1,0), v_{3}=(1,1,0,1), v_{4}=(1,0,1,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{4} c o subespaço vetorial W=L(S).
b) Determine uma base e a dimensio de W.
c) Determine se \mathbf{v}=(1,1,1,1) \in W.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
Passo 1
O enunciado pertence ao conteúdo de espaços vetoriais em álgebra linear. Ele pede:
a) a definição de base e dimensão de um espaço vetorial;
b), c) trabalhar com o subespaço W=\langle S\rangle gerado pelos vetores
determinando uma base e a dimensão de W e verificando se \mathbf{v}=(1,1,1,1) pertence a W;
d) aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Passo 2
Definições teóricas que vamos usar:
– Uma coleção de vetores \{u_{1},\dots,u_{k}\} em um espaço vetorial V é chamada de base de V se eles são linearmente independentes e geram V.
– A dimensão de V, denotada \dim V, é o número de vetores de qualquer base de V.
Passo 3
Para achar a base e a dimensão de W=\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\rangle, montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e verificamos independência linear por eliminação de Gauss:
Há pivôs em todas as 4 colunas, logo \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é um conjunto de 4 vetores LI em \mathbb{R}^4. Portanto eles geram um subespaço de dimensão 4. Como \dim\mathbb{R}^{4}=4, conclui-se que W=\mathbb{R}^{4} e
\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}
é uma base de W com \dim W=4.
Passo 4
Para saber se \mathbf{v}=(1,1,1,1) está em W, basta notar que W=\mathbb{R}^{4}, de modo que todo vetor de \mathbb{R}^{4} pertence a W. Em particular \mathbf{v}\in W.
Se quisermos achar explicitamente coeficientes a,b,c,d tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4}=\mathbf{v},
resolvendo o sistema você encontra
a=-1,\;b=-1,\;c=2,\;d=1.
Passo 5
Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}:
Definimos u_{1}=v_{1}.
Como v_{2}\cdot u_{1}=0, tomamos u_{2}=v_{2}.
Para v_{3}, retiramos projeções sobre u_{1} e u_{2}:
Multiplicando por 6, obtemos o vetor ortogonal (-1,2,-1,0).
4. Para v_{4}, retiramos projeções sobre u_{1},u_{2},u_{3} (usando a versão escalonada de u_{3}):
a) Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço; a dimensão é o número de vetores em qualquer base.
b) \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é base de W, \dim W=4.
c) Sim, \mathbf{v}=(1,1,1,1)\in W.
d) Uma base ortogonal de W é