Considere um sistema mecânica descrito pela seguinte Lagrangiana
L=m2 e^lambda t(dotq^2-omega^2 q^2), lambda, omega constantes
Mostre explicitamente que a seguinte quantidade é conservada
C=e^lambda t(dotq^2+omega^2 q^2+lambda q dotq)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma Lagrangiana dependente do tempo
L=m2e^lambda tl(dot q^2-omega^2q^2r)
e pede para mostrar que
C=e^lambda tl(dot q^2+omega^2q^2+lambda,q,dot qr)
é constante.
Conteúdo: mecânica lagrangiana (equação de Euler–Lagrange) e derivadas de funções do tempo. Vamos usar a E–L para achar a equação de movimento e depois calcular , mostrando que ela zuniu (é zero).

Passo 2

Primeiro, Euler–Lagrange:
ddtl(m,e^lambda tdot qr)+m,e^lambda tomega^2q=0 ;;Longrightarrow;; m,e^lambda tl(ddot q+lambdadot q+omega^2qr)=0 .
– Calculando boxedddot q+lambda,dot q+omega^2,q=0 .
– Calculando .
Então
Dividindo por , vem a equação de movimento

Passo 3

Agora vamos diferenciar
C=e^lambda t,B, B=dot q^2+omega^2q^2+lambda,q,dot q
Usando a regra do produto,
dCdt =e^lambda tl(lambda B+dBdtr)
E
dBdt =2dot q,ddot q+2omega^2q,dot q +lambdadot q^2+lambda q,ddot q

Passo 4

Juntando tudo:
lambda B+dBdt =(2dot q+lambda q),ddot q +2omega^2q,dot q +2lambdadot q^2 +lambda^2q,dot q
Agrupamos como
(2dot q+lambda q)(ddot q+omega^2q)+2lambdadot q^2+lambda^2q,dot q
Mas pela equação de movimento (2dot q+lambda q)(-,lambdadot q)+2lambdadot q^2+lambda^2q,dot q =-2lambdadot q^2-lambda^2q,dot q+2lambdadot q^2+lambda^2q,dot q =0 . Logo
Portanto e .

Resposta

Mostramos que C=e^lambda tl(dot q^2+omega^2q^2+lambda qdot qr) . Ou seja,
é de fato uma quantidade conservada.

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