Considere um sistema mecânica descrito pela seguinte Lagrangiana
Mostre explicitamente que a seguinte quantidade é conservada
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma Lagrangiana dependente do tempo
e pede para mostrar que
é constante.
Conteúdo: mecânica lagrangiana (equação de Euler–Lagrange) e derivadas de funções do tempo. Vamos usar a E–L para achar a equação de movimento e depois calcular , mostrando que ela zuniu (é zero).
Conteúdo: mecânica lagrangiana (equação de Euler–Lagrange) e derivadas de funções do tempo. Vamos usar a E–L para achar a equação de movimento e depois calcular
Passo 2
Primeiro, Euler–Lagrange:
.
– Calculando .
– Calculando .
Então
– Calculando
– Calculando
Então
Dividindo por
, vem a equação de movimento
Passo 3
Agora vamos diferenciar
Usando a regra do produto,
E
Passo 4
Juntando tudo:
Agrupamos como
Mas pela equação de movimento
. Logo
Portanto
e
.
Resposta
Mostramos que
. Ou seja,
é de fato uma quantidade conservada.