-31 Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de \pi / 2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum y_{m} das duas ondas?
32 Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a nāo ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda.
Passo 1
O enunciado contém duas perguntas distintas. Vou listar claramente o que cada uma pede e as informações fornecidas:
Questão 31: Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, têm amplitude comum \,y_{m}\, e estão defasadas de \pi/2 rad. Pede-se: qual é a amplitude da onda resultante em termos de \,y_{m}\,.
Questão 32: Duas ondas iguais, que se propagam no mesmo sentido, têm amplitude comum \,y_{m}\,. Pergunta-se qual diferença de fase (entre as duas ondas, além de constantes de fase) produz uma onda resultante cuja amplitude é 1{,}5 vezes a amplitude comum das duas ondas. É pedido expressar a resposta em (a) graus, (b) radianos e (c) comprimentos de onda.
Informações importantes dadas e que usaremos: as duas ondas têm mesma frequência e mesma amplitude \,y_{m}\,, propagam-se no mesmo sentido, e só diferem por uma diferença de fase \Delta\varphi.
Passo 2
Vamos entender e deduzir a fórmula que dá a amplitude resultante quando somamos duas ondas senoidais iguais com diferença de fase. Essa é a ferramenta que usamos em ambas as questões.
Considere duas ondas (no mesmo ponto do espaço) escritas no tempo como
Explicação intuitiva: somar duas oscilações iguais é como somar dois vetores (fasores) de mesma magnitude, separados por ângulo \Delta\varphi; o módulo do resultado é 2y_{m}\cos(\Delta\varphi/2) (valor absoluto se o cosseno for negativo).
Passo 3
Agora aplico a fórmula ao problema 31. Aqui \Delta\varphi=\pi/2. Substituindo em
Comentário rápido (didático): o valor \sqrt{2}\,y_{m} significa que a amplitude resultante é aproximadamente 1{,}414 vezes a amplitude comum. Isso bate com a ideia geométrica: dois vetores iguais com ângulo de 90^\circ entre si somam num vetor cuja magnitude é \sqrt{2} vezes cada um.
Passo 5
Agora resolvo a questão 32 passo a passo. Queremos \Delta\varphi tal que a amplitude resultante seja 1{,}5\,y_{m}, ou seja
ou, em termos gerais, \tfrac{\Delta\varphi}{2}=\pm\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4})+2\pi n. Para a diferença de fase principal positiva mais pequena escolhemos
Arredondando para cinco casas decimais: \tfrac{\Delta x}{\lambda}\approx 0,23011.
Passo 9
Observação sobre múltiplas soluções (importante para a prova): a equação em módulo dá duas soluções principais no intervalo 0\le \Delta\varphi<2\pi, simetricamente \Delta\varphi=\pm 2\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4}) (ou suas rotações por 2\pi n). Normalmente escolhemos a menor diferença de fase positiva \Delta\varphi=2\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4}) como resposta principal, a não ser que o enunciado peça explicitamente outras soluções.
Resposta
Questão 31: \sqrt{2}\,y_{m}
Questão 32 (menor diferença de fase positiva):
(a) \Delta\varphi\approx 82,82^\circ
(b) \Delta\varphi\approx 1,44547\\ \text{rad}
(c) \dfrac{\Delta x}{\lambda}\approx 0,23011