-31 Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de \pi / 2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum y_{m} das duas ondas?
  • 32 Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a nāo ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda.

Passo 1

O enunciado contém duas perguntas distintas. Vou listar claramente o que cada uma pede e as informações fornecidas:
  • Questão 31: Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, têm amplitude comum \,y_{m}\, e estão defasadas de \pi/2 rad. Pede-se: qual é a amplitude da onda resultante em termos de \,y_{m}\,.
  • Questão 32: Duas ondas iguais, que se propagam no mesmo sentido, têm amplitude comum \,y_{m}\,. Pergunta-se qual diferença de fase (entre as duas ondas, além de constantes de fase) produz uma onda resultante cuja amplitude é 1{,}5 vezes a amplitude comum das duas ondas. É pedido expressar a resposta em (a) graus, (b) radianos e (c) comprimentos de onda.
Informações importantes dadas e que usaremos: as duas ondas têm mesma frequência e mesma amplitude \,y_{m}\,, propagam-se no mesmo sentido, e só diferem por uma diferença de fase \Delta\varphi.

Passo 2

Vamos entender e deduzir a fórmula que dá a amplitude resultante quando somamos duas ondas senoidais iguais com diferença de fase. Essa é a ferramenta que usamos em ambas as questões.
Considere duas ondas (no mesmo ponto do espaço) escritas no tempo como
y_{1}(t)=y_{m}\sin(\omega t)
y_{2}(t)=y_{m}\sin(\omega t+\Delta\varphi)
A soma é
y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)=y_{m}\big[\sin(\omega t)+\sin(\omega t+\Delta\varphi)\big].
Usamos a identidade trigonométrica
\sin A+\sin B=2\sin\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big).
Aplicando com A=\omega t e B=\omega t+\Delta\varphi obtemos
y(t)=2y_{m}\cos\!\big(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big)\sin\!\big(\omega t+\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big).
Dessa forma, a forma resultante é uma senoide da mesma frequência, com amplitude máxima
\boxed{A_{\text{res}}=2y_{m}\left|\cos\!\big(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big)\right|.}
Explicação intuitiva: somar duas oscilações iguais é como somar dois vetores (fasores) de mesma magnitude, separados por ângulo \Delta\varphi; o módulo do resultado é 2y_{m}\cos(\Delta\varphi/2) (valor absoluto se o cosseno for negativo).

Passo 3

Agora aplico a fórmula ao problema 31. Aqui \Delta\varphi=\pi/2. Substituindo em
A_{\text{res}}=2y_{m}\left|\cos\!\big(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big)\right|
temos
A_{\text{res}}=2y_{m}\left|\cos\!\big(\tfrac{\pi/2}{2}\big)\right| =2y_{m}\left|\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)\right|.
Sabemos que \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
A_{\text{res}}=2y_{m}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\,y_{m}.

Passo 4

Comentário rápido (didático): o valor \sqrt{2}\,y_{m} significa que a amplitude resultante é aproximadamente 1{,}414 vezes a amplitude comum. Isso bate com a ideia geométrica: dois vetores iguais com ângulo de 90^\circ entre si somam num vetor cuja magnitude é \sqrt{2} vezes cada um.

Passo 5

Agora resolvo a questão 32 passo a passo. Queremos \Delta\varphi tal que a amplitude resultante seja 1{,}5\,y_{m}, ou seja
A_{\text{res}}=1{,}5\,y_{m}=\tfrac{3}{2}y_{m}.
Usando a fórmula
2y_{m}\left|\cos\!\big(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big)\right|=\tfrac{3}{2}y_{m}.
Dividindo ambos os lados por y_{m} (não nulo) e por 2, obtemos
\left|\cos\!\big(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\big)\right|=\tfrac{3}{4}.
Assim
\tfrac{\Delta\varphi}{2}=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{4}\big)
ou, em termos gerais, \tfrac{\Delta\varphi}{2}=\pm\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4})+2\pi n. Para a diferença de fase principal positiva mais pequena escolhemos
\Delta\varphi=2\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{4}\big).

Passo 6

Vamos calcular numericamente \Delta\varphi em radianos. Primeiro o valor de \operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4}) (aproximação)
\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{4}\big)\approx 0,7227342478\text{ rad}.
Logo
\Delta\varphi=2\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{4}\big)\approx 1,4454684956\text{ rad}.
Arredondando de forma prática para a prova: \Delta\varphi\approx 1,44547 rad.

Passo 7

Conversão para graus. A relação é
1\text{ rad}=\tfrac{180^\circ}{\pi}.
Portanto
\Delta\varphi\\ (\text{graus})=1,4454684956\cdot\tfrac{180}{\pi}\approx 82,81924444^\circ.
Arredondando para duas casas decimais: \Delta\varphi\approx 82,82^\circ.

Passo 8

Conversão para comprimentos de onda (fração de \lambda). A relação entre diferença de fase e diferença de caminho é
\Delta\varphi = 2\pi\cdot\tfrac{\Delta x}{\lambda},
onde \Delta x é a diferença de caminho entre as ondas e \lambda é o comprimento de onda. Assim
\tfrac{\Delta x}{\lambda}=\tfrac{\Delta\varphi}{2\pi}.
Usando \Delta\varphi\approx 1,4454684956 rad,
\tfrac{\Delta x}{\lambda}\approx \tfrac{1,4454684956}{2\pi}\approx 0,230110\ldots
Arredondando para cinco casas decimais: \tfrac{\Delta x}{\lambda}\approx 0,23011.

Passo 9

Observação sobre múltiplas soluções (importante para a prova): a equação em módulo dá duas soluções principais no intervalo 0\le \Delta\varphi<2\pi, simetricamente \Delta\varphi=\pm 2\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4}) (ou suas rotações por 2\pi n). Normalmente escolhemos a menor diferença de fase positiva \Delta\varphi=2\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{4}) como resposta principal, a não ser que o enunciado peça explicitamente outras soluções.

Resposta

Questão 31: \sqrt{2}\,y_{m}
Questão 32 (menor diferença de fase positiva):
(a) \Delta\varphi\approx 82,82^\circ
(b) \Delta\varphi\approx 1,44547\\ \text{rad}
(c) \dfrac{\Delta x}{\lambda}\approx 0,23011

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