Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada par de matrizes dadas, descobrir qual operação elementar de linha transforma a primeira matriz na segunda e também qual é a operação inversa (a que volta da segunda para a primeira). As matrizes fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
O objetivo é dar a operação elementar de linha que faz a transformação (primeira → segunda) e a operação inversa (segunda → primeira).]
Passo 2
Rápido lembrete didático sobre operações elementares de linha (vou explicar de forma bem prática para você usar na prova):
Tipos de operação elementar de linha:
- Trocar duas linhas:
. Exemplo: trocar com . - Multiplicar uma linha por um escalar não nulo:
com . Ex.: . - Somar a um múltiplo de uma linha outra linha:
. Ex.: .
Como encontrar a operação:
- Compare as linhas correspondentes antes e depois.
- Se duas linhas simples trocaram de posição, é uma troca.
- Se uma linha foi multiplicada por um número (todos os componentes mudam proporcionalmente), é uma multiplicação por escalar.
- Se uma linha foi alterada adicionando um múltiplo de outra linha (ou seja, é a soma componente a componente), é uma operação do tipo 3.
Inversas:
- A inversa de
é a mesma troca. - A inversa de
é . - A inversa de
é (ou seja, somar o múltiplo negativo).
Passo 3
Resolvendo (a). Compare linha a linha:
Primeira matriz, linhas:
Segunda matriz, linhas:
Observação:
é igual a
e
é igual a
;
permaneceu igual. Logo a transformação é simplesmente trocar
com
.
Operação direta:
.
Inversa: trocar
com
novamente devolve a matriz original, ou seja, a inversa é a mesma troca
.
Passo 4
Resolvendo (b). Linhas da primeira matriz:
Na segunda matriz,
enquanto
e
.
Verificando se
é múltiplo de
: se existe
tal que
. Tome
:
que bate exatamente.
Operação direta: multiplicar a linha 2 por
, isto é
Inversa: multiplicar a linha 2 por
, ou seja
(porque
é o inverso multiplicativo de
).
Passo 5
Resolvendo (c). Linhas da primeira matriz:
Na segunda matriz,
, enquanto
e
.
Tente expressar
como combinação de
e
. Compute
:
Calcule componente a componente:
Resultado:
, que é exatamente
.
Operação direta:
Inversa: somar
de volta, ou seja
Passo 6
Resolvendo (d). Linhas da primeira matriz:
Na segunda matriz,
, enquanto
e
.
Teste
:
Compute componente a componente:
Resultado:
, que é
.
Operação direta:
Inversa:
Resposta
(a)
. Inversa:
.
(b)
. Inversa:
.
(c)
. Inversa:
.
(d)
. Inversa:
.