Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
(a) \left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 5 \\\\ 1 & 4 & -7 \\\\ 3 & -1 & 6\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -7 \\\\ 0 & -2 & 5 \\\\ 3 & -1 & 6\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\\\ 0 & -2 & 6 \\\\ 0 & -5 & 9\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & -5 & 9\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 3 & 5 & 1 \\\\ 3 & -4 & 7 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 3 & 5 & 1 \\\\ 0 & 2 & 7 & -7\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 \\\\ 0 & -3 & 9 & 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede, para cada par de matrizes dadas, descobrir qual operação elementar de linha transforma a primeira matriz na segunda e também qual é a operação inversa (a que volta da segunda para a primeira). As matrizes fornecidas são:
(a) \left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 5 \\[4pt] 1 & 4 & -7 \\[4pt] 3 & -1 & 6\end{array}\right] \quad\text{e}\quad \left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -7 \\[4pt] 0 & -2 & 5 \\[4pt] 3 & -1 & 6\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\[4pt] 0 & -2 & 6 \\[4pt] 0 & -5 & 9\end{array}\right] \quad\text{e}\quad \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & -5 & 9\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & 5 & 1 \\[4pt] 3 & -4 & 7 & 2\end{array}\right] \quad\text{e}\quad \left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & 5 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 7 & -7\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2 \\[4pt] 0 & -3 & 9 & 5\end{array}\right] \quad\text{e}\quad \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]
O objetivo é dar a operação elementar de linha que faz a transformação (primeira → segunda) e a operação inversa (segunda → primeira).]

Passo 2

Rápido lembrete didático sobre operações elementares de linha (vou explicar de forma bem prática para você usar na prova):
Tipos de operação elementar de linha:
  1. Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j. Exemplo: trocar R_1 com R_2.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: k\,R_i \to R_i com k\neq 0. Ex.: 2R_2\to R_2.
  3. Somar a um múltiplo de uma linha outra linha: R_j + k\,R_i \to R_j. Ex.: R_3 - 3R_1 \to R_3.
Como encontrar a operação:
  • Compare as linhas correspondentes antes e depois.
  • Se duas linhas simples trocaram de posição, é uma troca.
  • Se uma linha foi multiplicada por um número (todos os componentes mudam proporcionalmente), é uma multiplicação por escalar.
  • Se uma linha foi alterada adicionando um múltiplo de outra linha (ou seja, é a soma componente a componente), é uma operação do tipo 3.
Inversas:
  • A inversa de R_i \leftrightarrow R_j é a mesma troca.
  • A inversa de k\,R_i \to R_i é \tfrac{1}{k}\,R_i \to R_i.
  • A inversa de R_j + k\,R_i \to R_j é R_j - k\,R_i \to R_j (ou seja, somar o múltiplo negativo).

Passo 3

Resolvendo (a). Compare linha a linha:
Primeira matriz, linhas:
R_1=(0,\,-2,\,5),\quad R_2=(1,\,4,\,-7),\quad R_3=(3,\,-1,\,6).
Segunda matriz, linhas:
R'_1=(1,\,4,\,-7),\quad R'_2=(0,\,-2,\,5),\quad R'_3=(3,\,-1,\,6).
Observação: R'_1 é igual a R_2 e R'_2 é igual a R_1; R_3 permaneceu igual. Logo a transformação é simplesmente trocar R_1 com R_2.
Operação direta: R_1 \leftrightarrow R_2.
Inversa: trocar R_1 com R_2 novamente devolve a matriz original, ou seja, a inversa é a mesma troca R_1 \leftrightarrow R_2.

Passo 4

Resolvendo (b). Linhas da primeira matriz:
R_1=(1,\,3,\,-4),\quad R_2=(0,\,-2,\,6),\quad R_3=(0,\,-5,\,9).
Na segunda matriz, R'_2=(0,\,1,\,-3) enquanto R'_1=R_1 e R'_3=R_3.
Verificando se R'_2 é múltiplo de R_2: se existe k tal que k(0,-2,6)=(0,1,-3). Tome k=-\tfrac{1}{2}:
-\tfrac{1}{2}\cdot(0,\,-2,\,6) = (0,\,1,\,-3),
que bate exatamente.
Operação direta: multiplicar a linha 2 por -\tfrac{1}{2}, isto é -\tfrac{1}{2}\,R_2 \to R_2.
Inversa: multiplicar a linha 2 por -2, ou seja -2\,R_2 \to R_2 (porque -2 é o inverso multiplicativo de -\tfrac{1}{2}).

Passo 5

Resolvendo (c). Linhas da primeira matriz:
R_1=(1,\,-2,\,0,\,3),\quad R_2=(0,\,3,\,5,\,1),\quad R_3=(3,\,-4,\,7,\,2).
Na segunda matriz, R'_3=(0,\,2,\,7,\,-7), enquanto R'_1=R_1 e R'_2=R_2.
Tente expressar R'_3 como combinação de R_3 e R_1. Compute R_3 - 3R_1:
R_3 - 3R_1 = (3,\,-4,\,7,\,2) - 3\cdot(1,\,-2,\,0,\,3).
Calcule componente a componente:
3-3\cdot1=0,\quad -4-3\cdot(-2)=-4+6=2,\quad 7-3\cdot0=7,\quad 2-3\cdot3=2-9=-7.
Resultado: (0,\,2,\,7,\,-7), que é exatamente R'_3.
Operação direta: R_3 - 3R_1 \to R_3.
Inversa: somar 3R_1 de volta, ou seja R_3 + 3R_1 \to R_3.

Passo 6

Resolvendo (d). Linhas da primeira matriz:
R_1=(1,\,2,\,-5,\,0),\quad R_2=(0,\,1,\,-3,\,-2),\quad R_3=(0,\,-3,\,9,\,5).
Na segunda matriz, R'_3=(0,\,0,\,0,\,-1), enquanto R'_1=R_1 e R'_2=R_2.
Teste R_3 + 3R_2:
R_3 + 3R_2 = (0,\,-3,\,9,\,5) + 3\cdot(0,\,1,\,-3,\,-2).
Compute componente a componente:
0+3\cdot0=0,\quad -3+3\cdot1=0,\quad 9+3\cdot(-3)=9-9=0,\quad 5+3\cdot(-2)=5-6=-1.
Resultado: (0,\,0,\,0,\,-1), que é R'_3.
Operação direta: R_3 + 3R_2 \to R_3.
Inversa: R_3 - 3R_2 \to R_3.

Resposta

(a) R_1 \leftrightarrow R_2. Inversa: R_1 \leftrightarrow R_2.
(b) -\tfrac{1}{2}\,R_2 \to R_2. Inversa: -2\,R_2 \to R_2.
(c) R_3 - 3R_1 \to R_3. Inversa: R_3 + 3R_1 \to R_3.
(d) R_3 + 3R_2 \to R_3. Inversa: R_3 - 3R_2 \to R_3.

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