(2,0) Em um sistema esférico simétrico, a equação tridimensional da onda é dada por
1r^2 partialpartial r(r^2 partial ypartial r)=1v^2 partial^2 ypartial t^2
a) (1,5) Demonstre que
y(r, t)=Ar sin (k r-omega t)
é solução para a equação de onda. b) (0,5) Qual a dimensão da constante A ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função de onda esférica
y(r,t)=Arsin(kr-omega t)
é solução da equação de onda esférica simétrica
1r^2partialpartial rl(r^2partial ypartial rr)=1v^2partial^2ypartial t^2
e depois determinar a dimensão da constante A. Para isso vamos usar derivadas parciais e a relação de dispersão entre k e omega.

Passo 2

Começamos calculando a derivada radial de y(r,t). Usando regra do quociente e da cadeia:
partial ypartial r =partialpartial rl(Ar^-1sin(kr-omega t)r) =-A r^-2sin(kr-omega t)+A r^-1cos(kr-omega t),k
Podemos reescrever de forma condensada:
partial ypartial r=Ar^2l(krcos(kr-omega t)-sin(kr-omega t)r)

Passo 3

Agora aplicamos o operador radial completo. Primeiro
r^2partial ypartial r=Al(krcos(kr-omega t)-sin(kr-omega t)r)
Depois derivamos em r:
partialpartial rl(r^2partial ypartial rr) =Al[kcos(kr-omega t)-k^2rsin(kr-omega t)-kcos(kr-omega t)r] =-A,k^2rsin(kr-omega t)
Dividindo por r^2:
1r^2partialpartial rl(r^2partial ypartial rr) =-A,k^2rsin(kr-omega t)

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda em t. Primeiro
partial ypartial t =Ar(-omega)cos(kr-omega t)
e em seguida
partial^2ypartial t^2 =-A,omega^2rsin(kr-omega t)
Logo o lado direito da equação é
1v^2partial^2ypartial t^2 =-A,omega^2v^2rsin(kr-omega t)

Passo 5

Comparando os dois lados vemos que eles coincidem se
k^2=omega^2v^2Longrightarrow k=omegav
Ou seja, com essa relação de dispersão,
y(r,t)=A/rsin(kr-omega t) satisfaz exatamente a equação de onda esférica.

Passo 6

Para achar a dimensão de A, notamos que y é um deslocamento (dimensão L) e aparece como
ysimArLongrightarrow [A]=[y],[r]=Ltimes L=L^2

Resposta

A tem dimensão de L^2.

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