(2,0) Em um sistema esférico simétrico, a equação tridimensional da onda é dada por
a)
Demonstre que
é solução para a equação de onda. b)
Qual a dimensão da constante
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função de onda esférica
é solução da equação de onda esférica simétrica
e depois determinar a dimensão da constante
. Para isso vamos usar derivadas parciais e a relação de dispersão entre
e
.
Passo 2
Começamos calculando a derivada radial de
. Usando regra do quociente e da cadeia:
Podemos reescrever de forma condensada:
Passo 3
Agora aplicamos o operador radial completo. Primeiro
Depois derivamos em
:
Dividindo por
:
Passo 4
Agora calculamos a derivada segunda em
. Primeiro
e em seguida
Logo o lado direito da equação é
Passo 5
Comparando os dois lados vemos que eles coincidem se
Ou seja, com essa relação de dispersão,
satisfaz exatamente a equação de onda esférica.
Passo 6
Para achar a dimensão de
, notamos que
é um deslocamento (dimensão
) e aparece como
Resposta
A tem dimensão de
.