Use o resultado do Exercício 43(b) para mostrar que se
for um campo vetorial da forma
se div
, então
é um campo de quadrado inverso. [Sugestão: Considere
e multiplique
por
. Escreva, então, o resultado como a derivada de um produto.]
Passo 1
O enunciado diz que
é um campo radial da forma
e que
. Pelo resultado do Exercício 43(b), sabemos que, para
,
Queremos mostrar que isso força
a ter comportamento de quadrado inverso.
Passo 2
Impondo
obtemos a equação diferencial
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Ou seja,
Passo 4
Integrando em
, concluímos
onde
é constante. Portanto
Passo 5
Voltando ao campo,
que é exatamente um campo de quadrado inverso.
Resposta
O campo
deve ser da forma
ou seja, um campo de quadrado inverso.