Use o resultado do Exercício 43(b) para mostrar que se F for um campo vetorial da forma F=f(|r|) r e se div F=0, então F é um campo de quadrado inverso. [Sugestão: Considere r=|r| e multiplique 3 f(r)+r f^prime(r)=0 por r^2. Escreva, então, o resultado como a derivada de um produto.]

Passo 1

O enunciado diz que F é um campo radial da forma
F = f(|r|),r,
e que div F=0. Pelo resultado do Exercício 43(b), sabemos que, para r=|r|,
div F = 3,f(r) + r,f'(r)
Queremos mostrar que isso força F a ter comportamento de quadrado inverso.

Passo 2

Impondo div F=0 obtemos a equação diferencial
3,f(r) + r,f'(r) = 0

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por r^2:
r^2l(3,f(r) + r,f'(r)r) = 0 Longrightarrow 3,r^2 f(r) + r^3 f'(r) = 0
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de r^3 f(r). Ou seja,
ddrl(r^3 f(r)r) = 0

Passo 4

Integrando em r, concluímos
r^3 f(r) = C,
onde C é constante. Portanto
f(r) = Cr^3

Passo 5

Voltando ao campo,
F = f(r),r = Cr^3,r = C,rr^3 = C,rr^2,
que é exatamente um campo de quadrado inverso.

Resposta

O campo F deve ser da forma
F = C,r|r|^3,
ou seja, um campo de quadrado inverso.

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