Em um sistema para estuda o Movimento Harmônico Simples, uma massa de 5,0 kg é preso a uma mola de constante elástica de 25,0 N / m. O bloco é solto do repouso em t=0 s, com uma amplitude de 20,0 cm.
Obtenha a velocidade v(t) a partir de x(t). Quais são os valores de x e v para t=2,8 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A questão fala sobre um sistema massa-mola onde uma massa de 5,0 kg está presa a uma mola com constante elástica de 25,0 N/m. A massa é solta do repouso com uma amplitude de 20,0 cm. Precisamos encontrar a velocidade $ v(t) $ a partir da posição $ x(t) $ e também os valores de $ x $ e $ v $ no tempo $ t = 2,8 $ segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da posição no MHS, que é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 3

Como o bloco é solto do repouso na posição de máxima amplitude, a fase inicial $ \phi $ é zero. Então, a equação simplifica para:
phi

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a frequência angular $ \omega $. Ela é calculada pela fórmula:
omega
Onde $ k $ é a constante elástica da mola e $ m $ é a massa. Substituindo os valores:
omega = raizkm

Passo 5

A amplitude $ A $ é dada como 20,0 cm, que devemos converter para metros:
A

Passo 6

Agora, temos a equação da posição:
x(t) = 0,20, m cdot cos(2,236, t)

Passo 7

Para encontrar a velocidade $ v(t) $, vamos derivar a posição em relação ao tempo:
v(t)
Substituindo os valores:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t)
v(t) = -0,20, m cdot 2,236, rad/s cdot sin(2,236, t)

Passo 8

Agora, vamos calcular $ x $ e $ v $ no tempo $ t = 2,8 $ segundos.
Primeiro, calculamos $ x(2,8) $:
x
v
Usando uma calculadora:
t = 2,8
x(2,8)

Passo 9

Agora, calculamos $ v(2,8) $:
v(2,8)
v(2,8) = -0,447, m/s cdot sin(2,236 times 2,8)
Usando uma calculadora:
v(2,8) = -0,447, m/s cdot sin(6,261)
sin(6,261) approx -0,068

Resposta

A velocidade é dada por $ v(t) = -0,447, m/s \cdot \sin(2,236, t) $. Para $ t = 2,8 $ segundos, os valores são:
v(t) = -0,447, m/s cdot sin(2,236, t)
t = 2,8

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