Um tubo horizontal com 50 m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de 0,01 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água? O diâmetro interno do tubo (rugosidade, e=0,0003 \mathrm{~m} ) é 78 mm . A entrada é reentrante e a água descarrega para a atmosfera. Admita que o fluido é água: massa específica =10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade absoluta =1 / 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a profundidade d no reservatório (coluna líquida) necessária para produzir uma vazão de 0,01\\ \mathrm{m^{3}/s} através de um tubo horizontal. As informações fornecidas são:
  • comprimento do tubo: L=50\\ \mathrm{m},
  • diâmetro interno: D=0,078\\ \mathrm{m},
  • rugosidade absoluta do tubo: e=0,0003\\ \mathrm{m},
  • vazão desejada: Q=0,01\\ \mathrm{m^{3}/s},
  • entrada reentrante (coeficiente de perda local que usaremos: K_e; o caso reentrante corresponde a K_e=0{,}5),
  • descarga para a atmosfera (pressões do reservatório e da descarga iguais à atmosfera, portanto só entram velocidades e perdas),
  • propriedades da água: massa específica \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade absoluta \mu=\dfrac{1}{10^{4}}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}=0{,}0001\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
O que precisa ser encontrado: a profundidade d (em metros) no reservatório que fornece a altura de carga suficiente para vencer as perdas e acelerar o jato até a vazão Q.

Passo 2

Raciocínio físico e fórmula geral usada (explicação didática).
  • Vamos aplicar Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (onde a velocidade é desprezível) e a saída do tubo para a atmosfera. A diferença de cota entre a superfície livre e a saída é exatamente a profundidade d que queremos.
  • Nessa aplicação aparecem:
    • a energia cinética na saída: \dfrac{v^{2}}{2g}, onde v é a velocidade média no tubo e g é a gravidade;
    • perdas por entrada (local) devido à entrada reentrante: K_{e}\dfrac{v^{2}}{2g}, com K_{e}=0{,}5;
    • perdas por atrito ao longo do tubo dadas pela fórmula de Darcy–Weisbach: h_{f}=f\,\dfrac{L}{D}\dfrac{v^{2}}{2g}, onde f é o fator de atrito de Darcy (sem unidade), que depende de Re e de e/D.
  • Somando tudo, a profundidade necessária é a soma da energia cinética na saída e das perdas:
d=\dfrac{v^{2}}{2g}+K_{e}\dfrac{v^{2}}{2g}+f\frac{L}{D}\dfrac{v^{2}}{2g}
  • Podemos fatorar:
d=\dfrac{v^{2}}{2g}\left(1+K_{e}+f\frac{L}{D}\right).
Explicação das variáveis:
  • v: velocidade média no tubo ( \mathrm{m/s}),
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}), usaremos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • K_{e}: coeficiente de perda de entrada (adotado 0{,}5 para entrada reentrante),
  • f: fator de atrito de Darcy (adimensional), que calcularemos com uma fórmula explícita (Swamee–Jain) a partir de Re e e/D,
  • L e D já dados.

Passo 3

Calcular área do tubo e velocidade média v a partir de Q.
  • Área interna do tubo:
A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}=\dfrac{\pi\,(0{,}078)^{2}}{4}.
Vamos calcular numericamente:
D^{2}=0{,}078^{2}=0{,}006084,
A=\dfrac{\pi\cdot 0{,}006084}{4}\approx 0{,}0047788\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0{,}01}{0{,}0047788}\approx 2{,}093\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e determinar o regime de escoamento.
  • Fórmula do número de Reynolds para escoamento em tubo:
Re=\dfrac{\rho v D}{\mu}.
Substituindo os valores:
Re=\dfrac{10^{3}\cdot 2{,}093\cdot 0{,}078}{0{,}0001}.
Calculemos passo a passo:
vD=2{,}093\times 0{,}078=0{,}163254,
\rho v D=10^{3}\times 0{,}163254=163{,}254,
Re=\dfrac{163{,}254}{0{,}0001}=1{,}63254\times 10^{6}.
Portanto:
Re\approx 1{,}63\times 10^{6},
ou seja, escoamento totalmente turbulento (Re grande).

Passo 5

Calcular rugosidade relativa e/D.
\frac{e}{D}=\frac{0{,}0003}{0{,}078}\approx 0{,}003846.

Passo 6

Escolha da fórmula para o fator de atrito f e cálculo (explicação didática).
  • Em escoamento turbulento e com rugosidade importante, o fator f pode ser obtido pela equação implícita de Colebrook–White. Para evitar iterações longas, usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação muito usada e precisa para engenharia):
f=\dfrac{0{,}25}{\bigg[\log_{10}\!\Big(\dfrac{e}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{2}}.
Explicando os termos: \log_{10} é logaritmo base 10; o primeiro termo dentro do log é a contribuição da rugosidade relativa e o segundo é efeito viscoso (Reynolds).
  • Calculemos as parcelas:
\dfrac{e}{3{,}7D}=\dfrac{0{,}0003}{3{,}7\cdot 0{,}078}=\dfrac{0{,}0003}{0{,}2886}\approx 0{,}001039,
Re^{0{,}9}=(1{,}63254\times 10^{6})^{0{,}9}\approx 3{,}896\times 10^{5}\quad(\text{cálculo usando propriedades de logaritmo}),á
\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx \dfrac{5{,}74}{3{,}896\times 10^{5}}\approx 1{,}47\times 10^{-5}.
Somando dentro do logaritmo:
\dfrac{e}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx 0{,}001039+0{,}0000147\approx 0{,}0010537.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}(0{,}0010537)\approx -2{,}977,
\big[\log_{10}(\cdots)\big]^{2}\approx (-2{,}977)^{2}\approx 8{,}863,
f=\dfrac{0{,}25}{8{,}863}\approx 0{,}0282.
Portanto:
f\approx 0{,}0282.

Passo 7

Calcular a profundidade d usando a fórmula do Passo 2 com os valores numéricos.
  • Primeiro calcule \dfrac{v^{2}}{2g}:
v^{2}=2{,}093^{2}\approx 4{,}381,
\dfrac{v^{2}}{2g}=\dfrac{4{,}381}{2\cdot 9{,}81}=\dfrac{4{,}381}{19{,}62}\approx 0{,}2234\\ \mathrm{m}.
  • Calcule \dfrac{L}{D}:
\dfrac{L}{D}=\dfrac{50}{0{,}078}\approx 641{,}026.
  • Calcule o termo f\frac{L}{D}:
f\frac{L}{D}\approx 0{,}0282\times 641{,}026\approx 18{,}085.
  • Lembre que K_{e}=0{,}5. Então o fator multiplicativo é:
1+K_{e}+f\frac{L}{D}=1+0{,}5+18{,}085=19{,}585.
  • Finalmente:
d=\dfrac{v^{2}}{2g}\left(1+K_{e}+f\frac{L}{D}\right)\approx 0{,}2234\times 19{,}585\approx 4{,}374\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação: o resultado indica que, para vencer o atrito importante ao longo dos 50\\ \mathrm{m} de tubo (com rugosidade relativamente significativa) e para fornecer a energia cinética do jato, é necessária uma coluna de água de aproximadamente 4{,}37\\ \mathrm{m}. A maioria da cabeça é consumida pelo atrito ao longo do tubo (veja que fL/D domina).

Resposta

d\approx 4{,}37\\ \mathrm{m}

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