Um tubo horizontal com 50 m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade,
, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de
de água? O diâmetro interno do tubo (rugosidade,
) é 78 mm . A entrada é reentrante e a água descarrega para a atmosfera. Admita que o fluido é água: massa específica
e viscosidade absoluta
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a profundidade
no reservatório (coluna líquida) necessária para produzir uma vazão de
através de um tubo horizontal. As informações fornecidas são:
- comprimento do tubo:
, - diâmetro interno:
, - rugosidade absoluta do tubo:
, - vazão desejada:
, - entrada reentrante (coeficiente de perda local que usaremos:
; o caso reentrante corresponde a ), - descarga para a atmosfera (pressões do reservatório e da descarga iguais à atmosfera, portanto só entram velocidades e perdas),
- propriedades da água: massa específica
e viscosidade absoluta .
O que precisa ser encontrado: a profundidade
(em metros) no reservatório que fornece a altura de carga suficiente para vencer as perdas e acelerar o jato até a vazão
.
Passo 2
Raciocínio físico e fórmula geral usada (explicação didática).
- Vamos aplicar Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (onde a velocidade é desprezível) e a saída do tubo para a atmosfera. A diferença de cota entre a superfície livre e a saída é exatamente a profundidade
que queremos. - Nessa aplicação aparecem:
- a energia cinética na saída:
, onde é a velocidade média no tubo e é a gravidade; - perdas por entrada (local) devido à entrada reentrante:
, com ; - perdas por atrito ao longo do tubo dadas pela fórmula de Darcy–Weisbach:
, onde é o fator de atrito de Darcy (sem unidade), que depende de e de .
- a energia cinética na saída:
- Somando tudo, a profundidade necessária é a soma da energia cinética na saída e das perdas:
- Podemos fatorar:
Explicação das variáveis:
-
: velocidade média no tubo ( ), -
: aceleração da gravidade ( ), usaremos , -
: coeficiente de perda de entrada (adotado para entrada reentrante), -
: fator de atrito de Darcy (adimensional), que calcularemos com uma fórmula explícita (Swamee–Jain) a partir de e , -
e já dados.
Passo 3
Calcular área do tubo e velocidade média
a partir de
.
- Área interna do tubo:
Vamos calcular numericamente:
- Velocidade média:
Passo 4
Calcular o número de Reynolds e determinar o regime de escoamento.
- Fórmula do número de Reynolds para escoamento em tubo:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Portanto:
ou seja, escoamento totalmente turbulento (Re grande).
Passo 5
Calcular rugosidade relativa
.
Passo 6
Escolha da fórmula para o fator de atrito
e cálculo (explicação didática).
- Em escoamento turbulento e com rugosidade importante, o fator
pode ser obtido pela equação implícita de Colebrook–White. Para evitar iterações longas, usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação muito usada e precisa para engenharia):
Explicando os termos:
é logaritmo base 10; o primeiro termo dentro do log é a contribuição da rugosidade relativa e o segundo é efeito viscoso (Reynolds).
- Calculemos as parcelas:
Somando dentro do logaritmo:
Agora o logaritmo e
:
Portanto:
Passo 7
Calcular a profundidade
usando a fórmula do Passo 2 com os valores numéricos.
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Calcule o termo
:
- Lembre que
. Então o fator multiplicativo é:
- Finalmente:
Passo 8
Interpretação rápida e verificação: o resultado indica que, para vencer o atrito importante ao longo dos
de tubo (com rugosidade relativamente significativa) e para fornecer a energia cinética do jato, é necessária uma coluna de água de aproximadamente
. A maioria da cabeça é consumida pelo atrito ao longo do tubo (veja que
domina).