\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{array}\right)
é (z-y)(z-x)(y-x). Conclua que as linhas da matriz são LI, se e somente se, x, y e z são três números reais distintos. Uma matriz da forma acima é chamada matriz de Vandermonde do tipo 3 \times 3.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}.
Pede-se duas coisas:
Verificar que \det(A)=(z-y)(z-x)(y-x).
Concluir que as linhas de A são linearmente independentes (LI) se, e somente se, x,y,z são três números reais distintos.
Informações relevantes dadas: os elementos de cada coluna são 1,\;t,\;t^2 para t=x,y,z. Não há mais hipóteses sobre x,y,z além de serem números reais.
Passo 2
Lembrando como calcular determinante de uma matriz 3\times3 por expansão pela primeira linha. Se
Aqui explico o porquê: cada termo é um cofactor da entrada da primeira linha; o sinal alternado vem da definição dos cofatores. Vou aplicar essa fórmula ao caso concreto substituindo os a_{ij} por 1,x,x^2 etc.
Passo 3
Aplicando a fórmula à nossa matriz A (usando a primeira linha (1,1,1)):
Fatoro x^{2}-y^{2} como diferença de quadrados e também manipulo o último termo:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y), \qquad x y^{2}-y x^{2}=xy(y-x).
Substituindo em \det(A):
\det(A)=z^{2}(y-x)+z(x-y)(x+y)+xy(y-x).
Observe que o segundo termo pode ser escrito com fator (y-x) também, pois (x-y)=-(y-x). Portanto coloco tudo em função de (y-x).
Passo 6
Colocando um fator comum (y-x):
\det(A)=(y-x)\bigl(z^{2}-z(x+y)+xy\bigr).
Agora reconheço o polinômio quadrático dentro do parêntese; ele é exatamente a expansão de (z-x)(z-y), já que
(z-x)(z-y)=z^{2}-z(x+y)+xy.
Portanto
\det(A)=(y-x)(z-x)(z-y).
Passo 7
Reescrevendo a expressão na forma pedida no enunciado (multiplicação é comutativa, logo ordem dos fatores não altera o produto):
\det(A)=(z-y)(z-x)(y-x).
Assim a primeira parte está verificada.
Passo 8
Agora a conclusão sobre independência linear das linhas. Lembrete importante: para uma matriz quadrada, as linhas (ou, equivalentemente, as colunas) são linearmente independentes se e somente se o determinante da matriz é diferente de zero. Explico por quê de forma breve e intuitiva: se as linhas fossem linearmente dependentes então existe combinação linear não-trivial entre elas que produz o vetor zero; essa dependência faz com que a matriz tenha posto menor que 3, e matrizes com posto menor que 3 têm determinante zero; recíprocamente, determinante zero implica posto menor que 3 e portanto dependência linear.
Passo 9
Usando a fórmula que obtivemos \det(A)=(y-x)(z-x)(z-y), vemos que \det(A)=0 exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero, isto é, quando y=x ou z=x ou z=y. Portanto:
Se x,y,z não são todos distintos (isto é, se existem duas variáveis iguais), então \det(A)=0 e as linhas são linearmente dependentes.
Se x,y,z são três números distintos, então nenhum dos fatores é zero, logo \det(A)\neq0, e as linhas são linearmente independentes.