Verifique que o determinante da matriz
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{array}\right)
é (z-y)(z-x)(y-x). Conclua que as linhas da matriz são LI, se e somente se, x, y e z são três números reais distintos. Uma matriz da forma acima é chamada matriz de Vandermonde do tipo 3 \times 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ x & y & z \\\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix}.
Pede-se duas coisas:
  • Verificar que \det(A)=(z-y)(z-x)(y-x).
  • Concluir que as linhas de A são linearmente independentes (LI) se, e somente se, x,y,z são três números reais distintos.
Informações relevantes dadas: os elementos de cada coluna são 1,\;t,\;t^2 para t=x,y,z. Não há mais hipóteses sobre x,y,z além de serem números reais.

Passo 2

Lembrando como calcular determinante de uma matriz 3\times3 por expansão pela primeira linha. Se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui explico o porquê: cada termo é um cofactor da entrada da primeira linha; o sinal alternado vem da definição dos cofatores. Vou aplicar essa fórmula ao caso concreto substituindo os a_{ij} por 1,x,x^2 etc.

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa matriz A (usando a primeira linha (1,1,1)):
\det(A) =1\cdot(y\cdot z^{2}-z\cdot y^{2}) -1\cdot(x\cdot z^{2}-z\cdot x^{2}) +1\cdot(x\cdot y^{2}-y\cdot x^{2}).
Agora vou simplificar termo a termo, agrupando em potências de z quando conveniente.

Passo 4

Simplifico somando os três termos:
\det(A)=\bigl(y z^{2}-x z^{2}\bigr)+\bigl(z x^{2}-z y^{2}\bigr)+\bigl(x y^{2}-y x^{2}\bigr).
Agrupando em termos de z^{2}, z e termos sem z:
\det(A)=z^{2}(y-x)+z(x^{2}-y^{2})+(x y^{2}-y x^{2}).

Passo 5

Fatoro x^{2}-y^{2} como diferença de quadrados e também manipulo o último termo:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y), \qquad x y^{2}-y x^{2}=xy(y-x).
Substituindo em \det(A):
\det(A)=z^{2}(y-x)+z(x-y)(x+y)+xy(y-x).
Observe que o segundo termo pode ser escrito com fator (y-x) também, pois (x-y)=-(y-x). Portanto coloco tudo em função de (y-x).

Passo 6

Colocando um fator comum (y-x):
\det(A)=(y-x)\bigl(z^{2}-z(x+y)+xy\bigr).
Agora reconheço o polinômio quadrático dentro do parêntese; ele é exatamente a expansão de (z-x)(z-y), já que
(z-x)(z-y)=z^{2}-z(x+y)+xy.
Portanto
\det(A)=(y-x)(z-x)(z-y).

Passo 7

Reescrevendo a expressão na forma pedida no enunciado (multiplicação é comutativa, logo ordem dos fatores não altera o produto):
\det(A)=(z-y)(z-x)(y-x).
Assim a primeira parte está verificada.

Passo 8

Agora a conclusão sobre independência linear das linhas. Lembrete importante: para uma matriz quadrada, as linhas (ou, equivalentemente, as colunas) são linearmente independentes se e somente se o determinante da matriz é diferente de zero. Explico por quê de forma breve e intuitiva: se as linhas fossem linearmente dependentes então existe combinação linear não-trivial entre elas que produz o vetor zero; essa dependência faz com que a matriz tenha posto menor que 3, e matrizes com posto menor que 3 têm determinante zero; recíprocamente, determinante zero implica posto menor que 3 e portanto dependência linear.

Passo 9

Usando a fórmula que obtivemos \det(A)=(y-x)(z-x)(z-y), vemos que \det(A)=0 exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero, isto é, quando y=x ou z=x ou z=y. Portanto:
  • Se x,y,z não são todos distintos (isto é, se existem duas variáveis iguais), então \det(A)=0 e as linhas são linearmente dependentes.
  • Se x,y,z são três números distintos, então nenhum dos fatores é zero, logo \det(A)\neq0, e as linhas são linearmente independentes.

Resposta

\det\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]x&y&z\\[4pt]x^{2}&y^{2}&z^{2}\end{pmatrix}=(z-y)(z-x)(y-x)
As linhas da matriz são linearmente independentes se, e somente se, x,y,z são três números reais distintos.]

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