Um sistema isolado adiabaticamente é constituído por um mol de um gás ideal diatômico (o calor específico molar a volume constante é cv^*=5 R / 2) a 100 K e 2 moles de um sólido a 200 K , separados por uma parede adiabática rígida. Calcular a temperatura de equilíbrio do sistema depois de a parede adiabática ser removida, admitindo que o sólido obedeça a lei de Dulong e Petit.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema isolado, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Nesse sistema, tem um mol de gás diatômico ideal a 100 K e 2 mols de um sólido a 200 K, separados por uma parede adiabática rígida. Nosso objetivo é encontrar a temperatura de equilíbrio quando essa parede for removida. Para resolver isso, vamos precisar entender de calor específico, conservação de energia e a lei de Dulong e Petit para o sólido.

Passo 2

Primeiro, como o sistema é isolado, a energia total vai se manter constante. Isso significa que o calor que o sólido vai perder vai ser igual ao calor que o gás vai ganhar, ou vice-versa.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Gás:
    • Quantidade: 1 mol
    • Calor específico a volume constante: $ c_v^* = \frac{5R}{2} $
    • Temperatura inicial: $ T_{gas} = 100 , K $
  • Sólido:
    • Quantidade: 2 mols
    • Calor específico (pela lei de Dulong e Petit): $ C_{sólido} = 3R $ por mol
    • Temperatura inicial: $ T_{sólido} = 200 , K $

Passo 4

Vamos chamar a temperatura de equilíbrio de $ T_{final} $. O calor perdido pelo sólido será:
Tfinal óóóó
O calor ganho pelo gás será:
Qsólido = nsólido times Csólido times (Tsólido - Tfinal) áá

Passo 5

Como a energia é conservada, temos:
Qsólido = Qgás óá
2 times 3R times (200 - Tfinal) = 1 times 5R2 times (Tfinal - 100)

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
6R times (200 - Tfinal) = 5R2 times (Tfinal - 100)
Podemos dividir ambos os lados por $ R $ para simplificar:
R

Passo 7

Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
12 times (200 - Tfinal) = 5 times (Tfinal - 100)
2400 - 12Tfinal = 5Tfinal - 500

Passo 8

Vamos juntar os termos com $ T_{final} $ de um lado e os números do outro:
Tfinal
2400 + 500 = 5Tfinal + 12Tfinal

Passo 9

Agora, isolamos $ T_{final} $:
Tfinal
Tfinal = 290017

Resposta

A temperatura de equilíbrio do sistema é aproximadamente $ 170 , K $.

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