Um sistema isolado adiabaticamente é constituído por um mol de um gás ideal diatômico (o calor específico molar a volume constante é
a 100 K e 2 moles de um sólido a 200 K , separados por uma parede adiabática rígida. Calcular a temperatura de equilíbrio do sistema depois de a parede adiabática ser removida, admitindo que o sólido obedeça a lei de Dulong e Petit.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema isolado, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Nesse sistema, tem um mol de gás diatômico ideal a 100 K e 2 mols de um sólido a 200 K, separados por uma parede adiabática rígida. Nosso objetivo é encontrar a temperatura de equilíbrio quando essa parede for removida. Para resolver isso, vamos precisar entender de calor específico, conservação de energia e a lei de Dulong e Petit para o sólido.
Passo 2
Primeiro, como o sistema é isolado, a energia total vai se manter constante. Isso significa que o calor que o sólido vai perder vai ser igual ao calor que o gás vai ganhar, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos identificar os dados que temos:
- Gás:
- Quantidade: 1 mol
- Calor específico a volume constante: $ c_v^* = \frac{5R}{2} $
- Temperatura inicial: $ T_{gas} = 100 , K $
- Sólido:
- Quantidade: 2 mols
- Calor específico (pela lei de Dulong e Petit): $ C_{sólido} = 3R $ por mol
- Temperatura inicial: $ T_{sólido} = 200 , K $
Passo 4
Vamos chamar a temperatura de equilíbrio de $ T_{final} $. O calor perdido pelo sólido será:
O calor ganho pelo gás será:
Passo 5
Como a energia é conservada, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir ambos os lados por $ R $ para simplificar:
Passo 7
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Passo 8
Vamos juntar os termos com $ T_{final} $ de um lado e os números do outro:
Passo 9
Agora, isolamos $ T_{final} $:
Resposta
A temperatura de equilíbrio do sistema é aproximadamente $ 170 , K $.