O sistema
\left\{\begin{array}{r} -x+2 y+z-2=0 \\ x+2 y-2 z=0 \\ x-4 y+10 z-6=0 \\ 2 x+7 y-5 z-2=0 \end{array}\right. \text { é: }é

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z e quatro equações:
\left\{\begin{array}{r} -x+2 y+z-2=0 \\\ x+2 y-2 z=0 \\\ x-4 y+10 z-6=0 \\\\ 2 x+7 y-5 z-2=0 \end{array}\right.
Reescrevendo cada equação isolando os termos com x,y,z à esquerda e o termo independente à direita, temos as quatro equações seguintes (informação extraída diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &-x+2y+z=2,\\\ &x+2y-2z=0,\\\ &x-4y+10z=6,\\\ &2x+7y-5z=2. \end{aligned}
O que a questão pede é a classificação do sistema (se é possível e determinado, possível e indeterminado, ou impossível/incompatível). A partir daqui vamos resolver passo a passo para decidir qual é o caso.

Passo 2

Vou transformar o sistema em matriz aumentada e aplicar eliminação de Gauss. Primeiro escrevo a matriz aumentada [A\mid b] (coeficientes e termos independentes), colocando as linhas na mesma ordem das equações reescritas:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 1 & -4 & 10 & 6\\[4pt] 2 & 7 & -5 & 2 \end{array}\right]
Para facilitar a eliminação, troco a linha 1 com a linha 2 (para ter um 1 no pivô da primeira coluna):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -4 & 10 & 6\\[4pt] 2 & 7 & -5 & 2 \end{array}\right]]

Passo 3

Agora vou zerar os elementos abaixo do pivô na coluna 1 (usar operações elementares por linha).
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_1:
R_2: (-1)+1=0,\quad 2+2=4,\quad 1+(-2)=-1,\quad 2+0=2.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3: 1-1=0,\quad -4-2=-6,\quad 10-(-2)=12,\quad 6-0=6.
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1:
R_4: 2-2=0,\quad 7-4=3,\quad -5-2(-2)=-5+4=-1,\quad 2-0=2.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -6 & 12 & 6\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora o próximo pivô natural é o elemento 4 em R_2, coluna 2. Vou usar R_2 para eliminar as entradas na coluna 2 das linhas 3 e 4. Para evitar frações faço combinações lineares inteiras:
  • Para zerar a posição em R_3 (que é -6), posso formar 2R_3 + 3R_2. Calculo:
2R_3 = [0,\,-12,\,24 \mid 12],\qquad 3R_2 = [0,\,12,\,-3 \mid 6].
Somando: 2R_3+3R_2=[0,0,21\mid 18]. Substituo R_3 por essa nova linha (essa é uma combinação válida que preserva o conjunto de soluções).
  • Para zerar a posição em R_4 (que é 3), faço 4R_4 - 3R_2. Calculo:
4R_4 = [0,\,12,\,-4 \mid 8],\qquad 3R_2 = [0,\,12,\,-3 \mid 6].
Subtraindo: 4R_4-3R_2=[0,0,-1\mid 2]. Substituo R_4 por essa nova linha.
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 21 & 18\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora examinei as últimas duas linhas, que contêm apenas a variável z:
  • A linha 3 diz 21 z = 18, ou seja
z = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}.
  • A linha 4 diz -1\cdot z = 2, ou seja
z = -2.
Essas duas equações dão valores diferentes para z ( \frac{6}{7} e -2), o que é uma contradição. Isso significa que não existe nenhuma tupla (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações do sistema.

Passo 6

Vou explicar didaticamente por que essa contradição indica que o sistema é impossível (incompatível), de forma que você saiba interpretar rapidamente isso numa prova:
  • Conceito de posto (rank): o posto da matriz dos coeficientes A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A. O posto da matriz aumentada [A\mid b] é definido de forma análoga, olhando para as linhas (ou colunas) da matriz que inclui a coluna dos termos independentes.
  • Teorema básico (Rouché–Capelli, versão prática): o sistema linear é compatível (tem solução) se, e somente se, o posto de A for igual ao posto de [A\mid b]. Se esses postos são diferentes, o sistema é incompatível (sem solução).
  • No nosso processo de eliminação obtemos duas linhas que, apenas olhando para as colunas de coeficientes, são múltiplos entre si (por exemplo, [0,0,21] e [0,0,-1] são múltiplos). Isso mostra que na matriz de coeficientes o posto é, no máximo, 3 (não mais do que o número de incógnitas). Mas nas correspondentes linhas aumentadas os termos independentes [18] e [2] não satisfazem essa proporcionalidade (ou seja, [0,0,21\mid 18] não é múltiplo de [0,0,-1\mid 2]). Isso faz com que o posto da matriz aumentada seja maior que o posto da matriz de coeficientes — então \operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A\mid b]).
  • Conclusão imediata pelo teorema: quando \operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A\mid b]) o sistema não tem solução — é incompatível (impossível).

Passo 7

Resumo didático final (como você pode usar na prova):
  • Faça eliminação de Gauss até obter linhas que envolvem apenas uma variável; se alguma dessas linhas for do tipo [0\;0\;0\mid c] com c\neq 0, aí está a contradição direta (sistema impossível).
  • Alternativamente, compare postos: se o posto da matriz de coeficientes for menor que o posto da aumentada, o sistema é impossível.
    No nosso caso encontramos duas equações que exigiriam dois valores diferentes para z. Portanto não há solução.

Resposta

Impossível (sistema incompatível — sem solução)

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