Um peso de
é atado a uma mola de
de comprimento e a um amortecedor. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de
. Se, a partir da posição 0 anterior, o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, determine o deslocamento
se é sabido que a constante do amortecedor é c
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Massa:
. - Comprimento natural da mola:
. - Comprimento da mola na posição de equilíbrio (com o peso suspenso):
. - Constante do amortecedor:
. - O peso é solto a partir do repouso num ponto
acima da posição de equilíbrio. - Pede-se o deslocamento
em função do tempo.
Observações importantes (aqui só identifiquei dados; não resolvo ainda):
- A extensão da mola devido ao peso é
. - Vamos medir
a partir da posição de equilíbrio (convenção a definir no próximo passo). - Condições iniciais: posição inicial relativa à posição de equilíbrio e velocidade inicial (repouso).
Passo 2
Definir convenção de sinais e encontrar a constante elástica
.
- Convenção (escolha prática): tomar
como o deslocamento vertical medido a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Assim, se algo está acima da posição de equilíbrio, será negativo. - A posição de equilíbrio foi dada: a mola, ao suportar o peso, comprime/along a partir do comprimento natural até
. A extensão estática é
- Em equilíbrio estático o peso
é balanceado pela força elástica . Então vale
- Tomando
, temos
Portanto
.
Passo 3
Montar a equação do movimento (explicando por que é homogênea).
- Quando medimos
a partir da posição de equilíbrio, a força peso já está compensada pela deformação estática da mola, de modo que as pequenas oscilações em torno do equilíbrio satisfazem a equação linear com coeficientes constantes sem termo externo gravitacional. - A equação geral para massa-amortecedor-mola (forças para baixo positivas) é
porque a soma das forças (mola
, amortecedor
) mais a massa vezes aceleração dá zero (sistema sem forçamentos adicionais). Essa é a equação homogênea do oscilador amortecido.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e simplificar a equação diferencial.
- Substituindo
, e obtemos
- É conveniente multiplicar por
para eliminar o coeficiente decimal:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 5
Resolver a equação característica e interpretar o tipo de amortecimento.
- A equação característica associada é
- Calcular as raízes:
- Temos raízes complexas com parte real negativa: o sistema é subamortecido (underdamped). A solução geral para raízes
é
Aqui
e
, logo a solução geral é
Explicação curta do que significam
e
: são constantes determinadas pelas condições iniciais;
dá amortecimento exponencial e
representam a oscilação com frequência angular
.
Passo 6
Impor as condições iniciais e resolver para
e
.
- Condição de posição inicial: o peso é solto a partir do repouso de um ponto
acima da posição de equilíbrio. Como adotamos positivo para baixo, estar acima do equilíbrio significa
- Condição de velocidade inicial: solto do repouso implica
- Usar a solução geral
. Primeiro avaliar em :
Logo
- Agora calcular
de forma detalhada (derivando produto exponencial vezes trigonométrico):
Agrupando termos:
- Avaliando em
(onde ):
Impondo
dá
- Como
, obtemos
Passo 7
Escrever a solução particular final e comentar o comportamento.
- Substituindo
e na solução geral:
- Podemos também escrever de forma fatorada:
- Interpretação rápida: é uma oscilação com frequência angular
amortecida exponencialmente com taxa . A amplitude vai decrescendo como .