Um peso de 0,5 \mathrm{~kg} é atado a uma mola de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento e a um amortecedor. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 2,48 \mathrm{~m}. Se, a partir da posição 0 anterior, o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, determine o deslocamento \mathrm{y}(\mathrm{t}) se é sabido que a constante do amortecedor é c =1 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Massa: m = 0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento natural da mola: L_0 = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da mola na posição de equilíbrio (com o peso suspenso): L_{\text{eq}} = 2,48\\ \mathrm{m}.
  • Constante do amortecedor: c = 1\\ \mathrm{N\;s/m}.
  • O peso é solto a partir do repouso num ponto 2\\ \mathrm{m} acima da posição de equilíbrio.
  • Pede-se o deslocamento y(t) em função do tempo.
Observações importantes (aqui só identifiquei dados; não resolvo ainda):
  • A extensão da mola devido ao peso é L_{\text{eq}}-L_0.
  • Vamos medir y(t) a partir da posição de equilíbrio (convenção a definir no próximo passo).
  • Condições iniciais: posição inicial relativa à posição de equilíbrio e velocidade inicial (repouso).

Passo 2

Definir convenção de sinais e encontrar a constante elástica k.
  • Convenção (escolha prática): tomar y(t) como o deslocamento vertical medido a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Assim, se algo está acima da posição de equilíbrio, y será negativo.
  • A posição de equilíbrio foi dada: a mola, ao suportar o peso, comprime/along a partir do comprimento natural até L_{\text{eq}}. A extensão estática é
\Delta L = L_{\text{eq}} - L_0 = 2,48 - 1,5 = 0,98\\ \mathrm{m}.
  • Em equilíbrio estático o peso mg é balanceado pela força elástica k\Delta L. Então vale
k\,\Delta L = m g.
  • Tomando g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}, temos
k = \frac{m g}{\Delta L} = \frac{0,5\cdot 9,8}{0,98} = \frac{4,9}{0,98} = 5\\ \mathrm{N/m}.
Portanto \,k=5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Montar a equação do movimento (explicando por que é homogênea).
  • Quando medimos y(t) a partir da posição de equilíbrio, a força peso já está compensada pela deformação estática da mola, de modo que as pequenas oscilações em torno do equilíbrio satisfazem a equação linear com coeficientes constantes sem termo externo gravitacional.
  • A equação geral para massa-amortecedor-mola (forças para baixo positivas) é
m y'' + c y' + k y = 0,
porque a soma das forças (mola =-k y, amortecedor =-c y') mais a massa vezes aceleração dá zero (sistema sem forçamentos adicionais). Essa é a equação homogênea do oscilador amortecido.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e simplificar a equação diferencial.
  • Substituindo m=0,5, c=1 e k=5 obtemos
0,5\,y'' + 1\,y' + 5\,y = 0.
  • É conveniente multiplicar por 2 para eliminar o coeficiente decimal:
y'' + 2\,y' + 10\,y = 0.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 5

Resolver a equação característica e interpretar o tipo de amortecimento.
  • A equação característica associada é
r^2 + 2 r + 10 = 0.
  • Calcular as raízes:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 10 = 4 - 40 = -36.
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-2 \pm 6 i}{2} = -1 \pm 3 i.
  • Temos raízes complexas com parte real negativa: o sistema é subamortecido (underdamped). A solução geral para raízes r = \alpha \pm i\beta é
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\beta t) + B\sin(\beta t)\bigr).
Aqui \alpha = -1 e \beta = 3, logo a solução geral é
y(t) = e^{-t}\bigl(A\cos 3t + B\sin 3t\bigr).
Explicação curta do que significam A e B: são constantes determinadas pelas condições iniciais; e^{-t} dá amortecimento exponencial e \cos 3t,\sin 3t representam a oscilação com frequência angular \,3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Impor as condições iniciais e resolver para A e B.
  • Condição de posição inicial: o peso é solto a partir do repouso de um ponto 2\\ \mathrm{m} acima da posição de equilíbrio. Como adotamos y positivo para baixo, estar 2\\ \mathrm{m} acima do equilíbrio significa
y(0) = -2\\ \mathrm{m}.
  • Condição de velocidade inicial: solto do repouso implica
y'(0) = 0.
  • Usar a solução geral y(t)=e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t). Primeiro avaliar em t=0:
y(0) = e^{0}(A\cos 0 + B\sin 0) = A.
Logo
A = y(0) = -2.
  • Agora calcular y'(t) de forma detalhada (derivando produto exponencial vezes trigonométrico):
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t)\bigr] = e^{-t}\bigl(-A\cos 3t - B\sin 3t\bigr) + e^{-t}\bigl(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t\bigr).
Agrupando termos:
y'(t) = e^{-t}\Bigl(\,(-A+3B)\cos 3t + (-B-3A)\sin 3t\Bigr).
  • Avaliando em t=0 (onde e^{0}=1,\\ \cos 0=1,\\ \sin 0=0):
y'(0) = -A + 3B.
Impondo y'(0)=0
-A + 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad 3B = A \quad\Rightarrow\quad B = \frac{A}{3}.
  • Como A = -2, obtemos
B = -\frac{2}{3}.

Passo 7

Escrever a solução particular final e comentar o comportamento.
  • Substituindo A e B na solução geral:
y(t) = e^{-t}\left(-2\cos 3t - \frac{2}{3}\sin 3t\right).
  • Podemos também escrever de forma fatorada:
y(t) = -2\,e^{-t}\left(\cos 3t + \tfrac{1}{3}\sin 3t\right).
  • Interpretação rápida: é uma oscilação com frequência angular 3\\ \mathrm{rad/s} amortecida exponencialmente com taxa 1\\ \mathrm{s^{-1}}. A amplitude vai decrescendo como e^{-t}.

Resposta

y(t) = e^{-t}\left(-2\cos 3t - \frac{2}{3}\sin 3t\right).

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