Um sistema massa-mola-amortecedor possui os seguintes parâmetros: m=1 kg, xi=0,01 cdot omegan=2 rad / %. O sistema é submetido a uma força harmônica externa F0=30 cos (10 t). Assumindo-se as condições iniciais. x0=1 cm e vo = 0,1 m / s, encontre a resposta do sistema x(t).

Passo 1

O sistema massa–mola–amortecedor obedece à equação
m,ddot x + c,dot x + k,x = F0cos(omega t),
com m=1,kg, razão de amortecimento zeta=0,01, frequência natural omegan=2,rad/s, força externa F0cos(10t) com F0=30, e condições iniciais x(0)=x0=0,01,m, dot x(0)=v0=0,1,m/s. Vamos achar a solução completa x(t), que é soma da solução homogênea e da particular forçada.

Passo 2

Calculemos o coeficiente de amortecimento c e a rigidez k:
c = 2,zeta,m,omegan = 2cdot0,01cdot1cdot2 = 0,04(Ncdots/m),
k = m,omegan^2 = 1cdot2^2 = 4(N/m)

Passo 3

A equação homogênea é
ddot x + 2zetaomegan,dot x + omegan^2,x = 0
Como zeta<1, o regime é subamortecido, com frequência amortecida
omegad = omeganraiz1-zeta^2 =2raiz1-0,01^2approx1,9999 rad/s
e solução homogênea
xh(t)=e^-zetaomegan tl(Acos(omegad t)+Bsin(omegad t)r)

Passo 4

A solução particular forçada tem forma
xp(t)=Xcos(omega t - phi),
com omega=10,rad/s e
X = F0/mraiz(omegan^2-omega^2)^2+(2zetaomeganomega)^2 = 30raiz(4-100)^2+(0,4)^2 approx 0,3125 m,
phi = arctan!gl(2zetaomeganomegaomegan^2-omega^2gr) = arctan!gl(0,4-96gr) approx -0,00417 rad

Passo 5

A solução geral é
x(t)=e^-0,02,tl(Acos(1,9999,t)+Bsin(1,9999,t)r) +0,3125cosl(10t+0,00417r),
observando que -phi=+0,00417.

Passo 6

Impondo x(0)=0,01 e dot x(0)=0,1 obtemos
A + 0,3125cos(0,00417)=0,01 Longrightarrow Aapprox -0,3025,
e
-0,02,A +1,9999,B +0,3125cdot10sin(0,00417)=0,1 Longrightarrow Bapprox0,04047

Resposta

boxed x(t)=e^-0,02,tl(-0,3025cos(1,9999,t)+0,04047sin(1,9999,t)r) +0,3125cosl(10t+0,00417r)

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