Use a transformada de Laplace para determinar a solução do problema de valor inicial
y^prime prime+16 y=3 de
Qual das alternativas representa a solução do PVI, para t>58 pi ?
a y(t)=34 sin 4 t+14 cos 4 t.
e) y(t)=3 sin 4 t+cos 4 t.
b y(t)=6 sin 4 t.
f y(t)=3 sin 4 t+3 cos 4 t.
  • y(t)=34 sin 4 t+34 cos 4 t.
    g y(t)=3 sin 4 t.
    d y(t)=0.
    h y(t)=32 sin 4 t.

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial y'' + 16y = 3,de com y(0)=0, y'(0)=0, usando transformada de Laplace, e depois obter a expressão para t>5pi/8. Vamos precisar da propriedade da transformada da função delta de Dirac e do teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na equação. Como Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) = s^2Y(s) e Ly = Y(s), e Lde, obtemos:
s^2Y(s) + 16Y(s) = 3 cdot 1 - 3 e^-5pi s/8,
ou seja
Y(s) = 3s^2 + 16 - 3 e^-5pi s/8s^2 + 16

Passo 3

Agora vamos inverter a transformada. Sabendo que L^-11/(s^2+16) = 14sin(4t) e usando o teorema do deslocamento no tempo, temos
y(t) = 34sin(4t) - 34,ul(t - tfrac5pi8r)sinl(4(t - tfrac5pi8)r)

Passo 4

Para t > 5pi/8 o escalonamento u(t-5pi/8) vale 1. Logo
y(t) = 34sin(4t) - 34sinl(4t - 4cdottfrac5pi8r)
e como 4cdottfrac5pi8 = tfrac5pi2 e sin(4t - 5pi/2) = -cos(4t), resulta
y(t) = 34l[sin(4t) + cos(4t)r]

Resposta

y(t) = \frac{3}{4}\sin(4t) + \frac{3}{4}\cos(4t)

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