1. Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é \mathbf{2 0 0 ~ g} e a constante elástica é 3,200 \pi^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em \mathbf{5 , 0 0 ~ c m} e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
B.4) a equação para o cálculo da energia cinética como função do deslocamento, a partir dos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa: m=200\\ \mathrm{g}=0,200\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=3200\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
  • A massa é deslocada e solta a partir de repouso com amplitude A=5,00\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
    O que se pede neste item B.4) é: escrever a equação que dá a energia cinética K em função do deslocamento x (isto é, K(x)), usando as informações anteriores.

Passo 2

Conceito-chave: conservação da energia mecânica num sistema massa-mola sem atrito.
Explicação breve e intuitiva: numa mola ideal sem atrito, a soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U é constante ao longo do movimento:
E = K(x) + U(x)=\text{constante}.
Aqui x é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio (positivo ou negativo).

Passo 3

Fórmula da energia potencial elástica da mola e origem dela (aula rápida):
A força da mola é F=-kx. A energia potencial acumulada na mola ao deformá-la de 0 até x é o trabalho contra essa força:
U(x)=\int_{0}^{x} kx'\,dx'=\frac{1}{2}kx^{2}.
Explicando palavras: U(x) cresce com o quadrado do deslocamento; unidade é joule ( \mathrm{J}).

Passo 4

Determinar a energia mecânica total E usando a condição inicial (solta a partir de repouso em x=A).
No instante inicial v=0 então K(A)=0 e toda a energia é potencial:
E=U(A)=\frac{1}{2}kA^{2}.
Isto nos dá o valor total de energia que se conserva durante toda a oscilação.

Passo 5

Isolar a energia cinética em função de x. Da conservação E=K(x)+U(x) obtemos
K(x)=E-U(x)=\frac{1}{2}kA^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Comentário didático: essa fórmula diz que a energia cinética em qualquer posição x é a diferença entre a energia máxima armazenada na mola (quando a massa passa pela posição de equilíbrio toda a energia é cinética) e a energia potencial naquele x. Quando x=A a energia cinética é zero; quando x=0 ela atinge o máximo \tfrac{1}{2}kA^{2}.
Também é útil uma forma usando m e a frequência angular \omega. Como \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} e k=m\omega^{2}, podemos escrever
K(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).

Passo 6

Substituindo os valores numéricos (para ter a expressão pronta para cálculo; lembrar: x em metros):
K(x)=\frac{1}{2}\cdot 3200\pi^{2}\bigl(0,05^{2}-x^{2}\bigr).
Simplificando os números:
3200\cdot 0,05^{2}=3200\cdot 0,0025=8,
logo a energia total é E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J} e
K(x)=4\pi^{2}-1600\pi^{2}x^{2}\quad(\text{com }x\text{ em metros}).
Verificação rápida: para x=0 K_{\max}=4\pi^{2}\approx 39,48\\ \mathrm{J}; para x=A=0,05\\ \mathrm{m} K=0, como esperado.

Resposta

K(x)=\frac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)
K(x)=\frac{1}{2}\cdot 3200\pi^{2}\bigl(0,05^{2}-x^{2}\bigr)=4\pi^{2}-1600\pi^{2}x^{2}\\ \mathrm{J}\quad(\text{com }x\text{ em metros})

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