-
Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é
e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em
e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
-
Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
em unidades de medida do Sistema Internacional.
B.3) a energia mecânica total;
Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é
e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em
e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou determinar.
Dados do problema 1 (sistema massa-mola sem atrito):
- massa:
. - constante elástica:
. - deslocamento inicial (amplitude):
.
O enunciado diz: “A massa é deslocada, esticando-se a mola, eme em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:” — o enunciado não lista explicitamente quais grandezas, então vou determinar as grandezas clássicas pedidas em provas para esse caso: a frequência angular , a frequência , o período , a velocidade máxima e a energia mecânica total . Essas são as quantidades que normalmente se pede quando se dá , e .
Dados do problema 2 (apenas a parte B.3 foi fornecida):
- função horária do deslocamento:
(unidades SI).
A pergunta B.3 pede explicitamente: “a energia mecânica total”. Para calcular numericamente a energia total de um oscilador harmônico é necessário conhecer a massa(ou a constante elástica ); o enunciado da parte 2 não fornece nem . Portanto, eu vou: - explicar a fórmula que dá a energia total em termos de
, e ; - substituir os valores conhecidos (
e ) e apresentar a expressão final em função de ; - indicar que, sem o valor numérico de
, não é possível fornecer um valor numérico absoluto da energia.
Passo 2
Conceitos básicos e fórmulas úteis (mini-aula rápida, bem passo a passo).
- Oscilador massa-mola sem atrito executa movimento harmônico simples (MHS) com frequência angular
dada por
O que significa cada símbolo:
-
é a constante elástica da mola em , -
é a massa em , -
é a frequência angular em . -
A relação entre frequência angular
, frequência (em Hz) e período (em s):
- A velocidade máxima no MHS ocorre quando a partícula passa pela posição de equilíbrio; o módulo da velocidade máxima vale
onde
é a amplitude (em metros).
- A energia mecânica total (como não há atrito) é a soma de energia cinética máxima e energia potencial máxima; equivalente a
Ambas as formas são iguais por
. Explico: a energia potencial máxima (quando a massa está em amplitude) é
; nessa posição a energia cinética é zero, então essa é a energia mecânica total.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao problema 1 (cálculos detalhados e simplificados passo a passo).
- Calcular
:
Fatorando:
logo
Podemos simplificar
. Note que
(ou
dá
), então
Valor numérico (aproximação):
(Usei
e
.)
- Calcular a frequência
:
Valor numérico:
- Calcular o período
:
Valor numérico:
- Calcular a velocidade máxima
:
Numericamente:
(Explico: multiplica-se a frequência angular pelo valor da amplitude em metros.)
Passo 4
Energia mecânica total do problema 1 (cálculo detalhado, com simplificação algébrica elegante).
Usando
substituindo
e
:
Calculo passo a passo:
portanto
Ou seja, houve uma simplificação bonita: o produto
é exatamente
. Valor numérico:
(Comentário didático: essa forma exata
é útil para conferir contas e evitar erros numéricos.)
Passo 5
Parte 2, B.3: energia mecânica total para
.
-
Identificar amplitude e frequência angular:
- Amplitude:
. - Frequência angular: como a função é
com coeficiente , então .
- Amplitude:
-
Fórmula geral (lembrando):
.
Para usar a forma comprecisamos do valor numérico de ; o enunciado da parte 2 não fornece a massa nem a constante elástica. Portanto não é possível fornecer um valor numérico absoluto para sem esse dado. O que posso fazer é colocar a energia em função de (forma pronta para calcular assim que for conhecido). -
Substituindo os valores conhecidos em
:
Calculemos fatores numéricos:
logo
Portanto a expressão final é
Se quiser um coeficiente numérico por unidade de massa:
ou seja
onde
está em
. Assim, por exemplo, se a massa fosse
(valor do problema 1), teríamos
Mas reforço: esse último cálculo usa a hipótese adicional de que a massa é
; o enunciado da parte 2 não informou massa, por isso a resposta correta e completa é a expressão em função de
apresentada acima.
Resposta
Problema 1:
Problema 2 (B.3):