1. Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é \mathbf{2 0 0 ~ g} e a constante elástica é 3,200 \pi^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em \mathbf{5 , 0 0 ~ c m} e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
  2. Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
x(\mathrm{t})=0,100 \cos (8 \pi \mathrm{t})
em unidades de medida do Sistema Internacional.
B.3) a energia mecânica total;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou determinar.
Dados do problema 1 (sistema massa-mola sem atrito):
  • massa: \,m=200\\ \text{g}=0{,}200\\ \text{kg}.
  • constante elástica: \,k=3200\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
  • deslocamento inicial (amplitude): \,A=5{,}00\\ \text{cm}=0{,}0500\\ \text{m}.
    O enunciado diz: “A massa é deslocada, esticando-se a mola, em \,5{,}00\\ \text{cm} e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:” — o enunciado não lista explicitamente quais grandezas, então vou determinar as grandezas clássicas pedidas em provas para esse caso: a frequência angular \omega, a frequência \,f, o período \,T, a velocidade máxima \,v_{\max} e a energia mecânica total \,E. Essas são as quantidades que normalmente se pede quando se dá m, k e A.
Dados do problema 2 (apenas a parte B.3 foi fornecida):
  • função horária do deslocamento: \,x(t)=0{,}100\cos(8\pi t) (unidades SI).
    A pergunta B.3 pede explicitamente: “a energia mecânica total”. Para calcular numericamente a energia total de um oscilador harmônico é necessário conhecer a massa \,m (ou a constante elástica \,k); o enunciado da parte 2 não fornece \,m nem \,k. Portanto, eu vou:
  • explicar a fórmula que dá a energia total em termos de \,m, \,\omega e \,A;
  • substituir os valores conhecidos ( \,A e \,\omega) e apresentar a expressão final em função de \,m;
  • indicar que, sem o valor numérico de \,m, não é possível fornecer um valor numérico absoluto da energia.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas úteis (mini-aula rápida, bem passo a passo).
  • Oscilador massa-mola sem atrito executa movimento harmônico simples (MHS) com frequência angular \omega dada por
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
O que significa cada símbolo:
  • \,k é a constante elástica da mola em \mathrm{N/m},
  • \,m é a massa em \mathrm{kg},
  • \,\omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}.
  • A relação entre frequência angular \omega, frequência f (em Hz) e período T (em s):
f=\dfrac{\omega}{2\pi},\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • A velocidade máxima no MHS ocorre quando a partícula passa pela posição de equilíbrio; o módulo da velocidade máxima vale
v_{\max}=\omega A,
onde A é a amplitude (em metros).
  • A energia mecânica total (como não há atrito) é a soma de energia cinética máxima e energia potencial máxima; equivalente a
E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}.
Ambas as formas são iguais por \omega^{2}=k/m. Explico: a energia potencial máxima (quando a massa está em amplitude) é \tfrac{1}{2}kA^{2}; nessa posição a energia cinética é zero, então essa é a energia mecânica total.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao problema 1 (cálculos detalhados e simplificados passo a passo).
  1. Calcular \omega:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{3200\pi^{2}}{0{,}200}}.
Fatorando:
\dfrac{3200}{0{,}200}=16000,
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\omega=\sqrt{16000\,\pi^{2}}=\pi\sqrt{16000}.
Podemos simplificar \sqrt{16000}. Note que 16000=40^{2}\cdot 10 (ou 16000=40^{2}\cdot 10 \sqrt{16000}=40\sqrt{10}), então
\omega=40\pi\sqrt{10}.
Valor numérico (aproximação):
\omega \approx 397{,}887\\ \mathrm{rad/s}.
(Usei \pi\approx 3{,}14159265 e \sqrt{10}\approx 3{,}16227766.)
  1. Calcular a frequência f:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{40\pi\sqrt{10}}{2\pi}=20\sqrt{10}.
Valor numérico:
f\approx 63{,}246\\ \mathrm{Hz}.
  1. Calcular o período T:
T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{20\sqrt{10}}.
Valor numérico:
T\approx 0{,}015811\\ \mathrm{s}.
  1. Calcular a velocidade máxima v_{\max}:
v_{\max}=\omega A=(40\pi\sqrt{10})\cdot 0{,}0500.
Numericamente:
v_{\max}\approx 397{,}887\times 0{,}0500\approx 19{,}894\\ \mathrm{m/s}.
(Explico: multiplica-se a frequência angular pelo valor da amplitude em metros.)

Passo 4

Energia mecânica total do problema 1 (cálculo detalhado, com simplificação algébrica elegante).
Usando
E=\dfrac{1}{2}kA^{2},
substituindo \,k=3200\pi^{2} e \,A=0{,}0500\\ \text{m}:
E=\dfrac{1}{2}\cdot 3200\pi^{2}\cdot (0{,}0500)^{2}.
Calculo passo a passo:
\dfrac{1}{2}\cdot 3200=1600,\qquad (0{,}0500)^{2}=0{,}0025,
portanto
E=1600\pi^{2}\cdot 0{,}0025=4\pi^{2}.
Ou seja, houve uma simplificação bonita: o produto 1600\times 0{,}0025 é exatamente 4. Valor numérico:
E=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx 39{,}478\\ \mathrm{J}.
(Comentário didático: essa forma exata \,4\pi^{2} é útil para conferir contas e evitar erros numéricos.)

Passo 5

Parte 2, B.3: energia mecânica total para x(t)=0{,}100\cos(8\pi t).
  • Identificar amplitude e frequência angular:
    • Amplitude: \,A=0{,}100\\ \text{m}.
    • Frequência angular: como a função é \cos(\omega t) com coeficiente 8\pi, então \,\omega=8\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fórmula geral (lembrando): \,E=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=\dfrac{1}{2}kA^{2}.
    Para usar a forma com \,m precisamos do valor numérico de \,m; o enunciado da parte 2 não fornece a massa nem a constante elástica. Portanto não é possível fornecer um valor numérico absoluto para \,E sem esse dado. O que posso fazer é colocar a energia em função de \,m (forma pronta para calcular assim que \,m for conhecido).
  • Substituindo os valores conhecidos em \,E=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}:
E=\dfrac{1}{2}\,m\,(8\pi)^{2}\,(0{,}100)^{2}.
Calculemos fatores numéricos:
(8\pi)^{2}=64\pi^{2},\qquad (0{,}100)^{2}=0{,}0100,
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E=\dfrac{1}{2}\,m\cdot 64\pi^{2}\cdot 0{,}0100.
E=m\cdot \left(\tfrac{1}{2}\cdot 64\cdot 0{,}0100\right)\pi^{2}=m\cdot 0{,}32\pi^{2}.
Portanto a expressão final é
E=0{,}32\pi^{2}\,m\\ \text{J}.
Se quiser um coeficiente numérico por unidade de massa:
0{,}32\pi^{2}\approx 3{,}1583,
ou seja
E\approx 3{,}1583\\ m\\ \text{J},
onde m está em \mathrm{kg}. Assim, por exemplo, se a massa fosse \,0{,}200\\ \mathrm{kg} (valor do problema 1), teríamos
E\approx 3{,}1583\times 0{,}200\approx 0{,}6317\\ \mathrm{J}.
Mas reforço: esse último cálculo usa a hipótese adicional de que a massa é 0{,}200\\ \mathrm{kg}; o enunciado da parte 2 não informou massa, por isso a resposta correta e completa é a expressão em função de m apresentada acima.

Resposta

Problema 1:
\omega=40\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx 397{,}887\\ \mathrm{rad/s}
f=20\sqrt{10}\\ \mathrm{Hz}\approx 63{,}246\\ \mathrm{Hz}
T=\dfrac{1}{20\sqrt{10}}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}015811\\ \mathrm{s}
v_{\max}=\omega A\approx 19{,}894\\ \mathrm{m/s}
E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx 39{,}478\\ \mathrm{J}
Problema 2 (B.3):
\displaystyle E=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=0{,}32\pi^{2}\,m\\ \mathrm{J}\\ (\text{ou }E\approx 3{,}1583\,m\\ \mathrm{J},\\ m\\ \text{em kg}).

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