-
Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é
e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em
e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
-
Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
em unidades de medida do Sistema Internacional.
B.1) a equação para o cálculo da energia potencial ;
Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é
e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em
e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) e o que se pede em cada parte.
Dados do item 1:
- massa:
. - constante elástica:
. - a mola é esticada e abandonada (velocidade inicial nula) com amplitude
.
O enunciado do item 1 diz “Para a oscilação determinar:” — assumirei que devemos determinar as grandezas típicas de um sistema massa-mola sem atrito: a frequência angular
, o período
, a frequência
, a equação do movimento
, a energia mecânica total
e a velocidade máxima
.
Dados do item B.1:
- função horária do deslocamento:
(unidades do SI, logo em metros e em segundos). - pergunta: fornecer a equação para o cálculo da energia potencial.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática curta e intuitiva).
- Para uma mola ideal a força restauradora vale
. Pela segunda lei de Newton isso gera a equação diferencial do movimento:
Ela é a equação do movimento harmônico simples (MHS). As soluções são combinações de cosseno e seno, com frequência angular dada por
Explicando as variáveis:
-
é a massa em quilogramas; -
é a constante elástica em newtons por metro; -
é a frequência angular em radianos por segundo; -
(período) e (frequência) relacionam-se com por
- A solução para deslocamento quando o corpo é abandonado na posição de máxima elongação (velocidade inicial zero) é
onde
é a amplitude.
- Energia potencial elástica da mola em qualquer instante é
e a energia cinética é
Como não há atrito, a energia mecânica total é constante e vale (na amplitude, onde
)
- Velocidade máxima ocorre quando a energia é totalmente cinética (passagem pela origem
); usa-se ou .
Passo 3
Calcular
,
e
para o item 1, passo a passo com contas que dá para fazer à mão.
Temos
e
. Então
Simplificando:
. Logo
Podemos escrever
. Portanto uma forma exata é
Cálculo aproximado:
, então
Agora o período:
Aproximação numérica:
, logo
A frequência:
Passo 4
Equação do movimento e velocidade máxima para o item 1, com cálculos.
Como foi abandonada na máxima elongação
e
, a solução é
A velocidade máxima é
. Usando
e
,
Aproximação:
Passo 5
Energia mecânica total para o item 1 (passo a passo).
A energia total (conservada) é a energia potencial máxima na amplitude:
Substituindo
e
,
Calculemos:
. Então
. Portanto
Valor numérico:
, logo
Passo 6
Resolver o item B.1 (energia potencial a partir de
), explicando cada passo.
A fórmula geral da energia potencial elástica é
onde
é o deslocamento instantâneo.
Aqui
(note que
em SI). Substituindo:
Façamos a simplificação algébrica:
, então
É útil também expressar
usando a identidade trigonométrica
. Aplicando aqui:
Observações físicas rápidas (para ajudar na prova): a energia potencial oscila entre
(quando
) e
(quando
). A frequência angular da oscilação de
é
, ou seja, a energia potencial oscila com o dobro da frequência do deslocamento (como sempre: energia depende de
, então a oscilação de energia tem frequência duas vezes maior).
Opcional — se quiser um valor numérico imediato para
quando se conhece
: por exemplo, se
(valor do item 1), então
ou, usando a forma com a identidade,
Resposta
Item 1 — sistema massa-mola:
,
,
,
,
,
Item B.1 — energia potencial:
ou equivalentemente
ou equivalentemente