1. Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é \mathbf{2 0 0 ~ g} e a constante elástica é 3,200 \pi^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em \mathbf{5 , 0 0 ~ c m} e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
  2. Um oscilador harmônico simples, tem a função horária do deslocamento dada por:
x(\mathrm{t})=0,100 \cos (8 \pi \mathrm{t})
em unidades de medida do Sistema Internacional.
B.1) a equação para o cálculo da energia potencial ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) e o que se pede em cada parte.
Dados do item 1:
  • massa: m=200\\ \mathrm{g}=0,200\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica: k=3200\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
  • a mola é esticada e abandonada (velocidade inicial nula) com amplitude A=5,00\\ \mathrm{cm}=0,050\\ \mathrm{m}.
O enunciado do item 1 diz “Para a oscilação determinar:” — assumirei que devemos determinar as grandezas típicas de um sistema massa-mola sem atrito: a frequência angular \omega, o período T, a frequência f, a equação do movimento x(t), a energia mecânica total E e a velocidade máxima v_{\max}.
Dados do item B.1:
  • função horária do deslocamento: x(t)=0,100\cos(8\pi t) (unidades do SI, logo x em metros e t em segundos).
  • pergunta: fornecer a equação para o cálculo da energia potencial.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática curta e intuitiva).
  • Para uma mola ideal a força restauradora vale \,F=-k x\,. Pela segunda lei de Newton isso gera a equação diferencial do movimento:
m\ddot{x}+k x = 0.
Ela é a equação do movimento harmônico simples (MHS). As soluções são combinações de cosseno e seno, com frequência angular dada por
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Explicando as variáveis:
  • m é a massa em quilogramas;
  • k é a constante elástica em newtons por metro;
  • \omega é a frequência angular em radianos por segundo;
  • T (período) e f (frequência) relacionam-se com \omega por
T=\dfrac{2\pi}{\omega},\qquad f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{T}.
  • A solução para deslocamento quando o corpo é abandonado na posição de máxima elongação (velocidade inicial zero) é
x(t)=A\cos(\omega t),
onde A é a amplitude.
  • Energia potencial elástica da mola em qualquer instante é
U=\dfrac{1}{2}k x^{2},
e a energia cinética é
K=\dfrac{1}{2}m v^{2}=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}.
Como não há atrito, a energia mecânica total é constante e vale (na amplitude, onde v=0)
E=U_{\max}=\dfrac{1}{2}kA^{2}.
  • Velocidade máxima ocorre quando a energia é totalmente cinética (passagem pela origem x=0); usa-se E=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2} ou v_{\max}=A\omega.

Passo 3

Calcular \omega, T e f para o item 1, passo a passo com contas que dá para fazer à mão.
Temos m=0,200\\ \mathrm{kg} e k=3200\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}. Então
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{3200\pi^{2}}{0,200}}.
Simplificando: \dfrac{3200}{0,200}=16000. Logo
\omega=\sqrt{16000\,\pi^{2}}=\pi\sqrt{16000}.
Podemos escrever \sqrt{16000}=\sqrt{16\cdot1000}=4\sqrt{1000}=4\cdot10\sqrt{10}=40\sqrt{10}. Portanto uma forma exata é
\omega=40\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}.
Cálculo aproximado: \sqrt{10}\approx3,1623, então
\omega\approx 40\pi\cdot3,1623\approx 397{,}6\\ \mathrm{rad/s}.
Agora o período:
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{40\pi\sqrt{10}}=\dfrac{1}{20\sqrt{10}}\\ \mathrm{s}.
Aproximação numérica: 20\sqrt{10}\approx 63{,}2456, logo
T\approx 0{,}0158\\ \mathrm{s}.
A frequência:
f=\dfrac{1}{T}=20\sqrt{10}\\ \mathrm{Hz}\approx 63{,}25\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Equação do movimento e velocidade máxima para o item 1, com cálculos.
Como foi abandonada na máxima elongação x(0)=A e v(0)=0, a solução é
x(t)=A\cos(\omega t)=0,050\cos\!\bigl(40\pi\sqrt{10}\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
A velocidade máxima é v_{\max}=A\omega. Usando A=0,050\\ \mathrm{m} e \omega=40\pi\sqrt{10},
v_{\max}=0,050\cdot 40\pi\sqrt{10}=2\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}.
Aproximação: 2\pi\sqrt{10}\approx 19{,}88\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Energia mecânica total para o item 1 (passo a passo).
A energia total (conservada) é a energia potencial máxima na amplitude:
E=\dfrac{1}{2}kA^{2}.
Substituindo k=3200\pi^{2} e A=0,050,
E=\dfrac{1}{2}\cdot 3200\pi^{2}\cdot (0,050)^{2}.
Calculemos: (0,050)^{2}=0,0025. Então 3200\cdot 0,0025=8. Portanto
E=\dfrac{1}{2}\cdot 8\,\pi^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}.
Valor numérico: \pi^{2}\approx 9{,}8696, logo
E\approx 4\cdot 9{,}8696 \approx 39{,}48\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resolver o item B.1 (energia potencial a partir de x(t)), explicando cada passo.
A fórmula geral da energia potencial elástica é
U(t)=\dfrac{1}{2}k\,x(t)^{2},
onde x(t) é o deslocamento instantâneo.
Aqui x(t)=0,100\cos(8\pi t) (note que 0,100\\ \mathrm{m}=0,100 em SI). Substituindo:
U(t)=\dfrac{1}{2}k\bigl(0,100\cos(8\pi t)\bigr)^{2}.
Façamos a simplificação algébrica: (0,100)^{2}=0,0100, então
U(t)=\dfrac{1}{2}k\cdot 0,0100\,\cos^{2}(8\pi t)=0,0050\,k\cos^{2}(8\pi t)\\ \mathrm{J}.
É útil também expressar U(t) usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Aplicando aqui:
U(t)=0,0050\,k\cdot \dfrac{1+\cos(16\pi t)}{2}=0,0025\,k\bigl(1+\cos(16\pi t)\bigr)\\ \mathrm{J}.
Observações físicas rápidas (para ajudar na prova): a energia potencial oscila entre 0 (quando x=0) e U_{\max}=0,0050\,k (quando \cos^{2}=1). A frequência angular da oscilação de U(t) é 16\pi, ou seja, a energia potencial oscila com o dobro da frequência do deslocamento (como sempre: energia depende de x^{2}, então a oscilação de energia tem frequência duas vezes maior).
Opcional — se quiser um valor numérico imediato para U(t) quando se conhece k: por exemplo, se k=3200\pi^{2} (valor do item 1), então
U(t)=0,0050\cdot 3200\pi^{2}\cos^{2}(8\pi t)=16\pi^{2}\cos^{2}(8\pi t)\\ \mathrm{J},
ou, usando a forma com a identidade,
U(t)=8\pi^{2}\bigl(1+\cos(16\pi t)\bigr)\\ \mathrm{J}.

Resposta

Item 1 — sistema massa-mola:
\omega=40\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx397{,}6\\ \mathrm{rad/s},
T=\dfrac{1}{20\sqrt{10}}\\ \mathrm{s}\approx0{,}0158\\ \mathrm{s},
f=20\sqrt{10}\\ \mathrm{Hz}\approx63{,}25\\ \mathrm{Hz},
x(t)=0,050\cos\!\bigl(40\pi\sqrt{10}\,t\bigr)\\ \mathrm{m},
E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx39{,}48\\ \mathrm{J},
v_{\max}=A\omega=2\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx19{,}88\\ \mathrm{m/s}
Item B.1 — energia potencial:
U(t)=\dfrac{1}{2}k\bigl(0,100\cos(8\pi t)\bigr)^{2}=0,0050\,k\cos^{2}(8\pi t)\\ \mathrm{J}
ou equivalentemente
U(t)=0,0025\,k\bigl(1+\cos(16\pi t)\bigr)\\ \mathrm{J}.

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