Um sistema massa-mola é colocado a oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
F(t)=50 \cos (\Omega t) \mathrm{N} .
A massa do oscilador é m=2 \mathrm{~kg}, a constante elástica da mola é k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e o coeficiente de amortecimento do meio é b=0,04 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A frequência da força externa é cuidadosamente ajustada até atingir uma frequência abaixo (acima), porém, extremamente próxima à frequência natural do sistema. Espera-se o movimento atingir o regime estacionário.
Qual é a fase do movimento do oscilador, em relação à fase da força externa?
(a) -\pi / 4
(b) -\pi / 2
(c) +\pi / 4
(d) +\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Força externa: F(t)=50\cos(\Omega t)\\ \text{N}.
  • Massa: m=2\\ \text{kg}.
  • Constante elástica: k=50\\ \text{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento: b=0,04\\ \text{kg/s}.
  • A frequência da força \Omega é ajustada para valores imediatamente abaixo e imediatamente acima da frequência natural do sistema, ou seja, \Omega está extremamente próxima de \omega_0.
  • Assume-se que o movimento atingiu o regime estacionário (os transientes já morreram).
Pergunta: Qual é a fase do movimento do oscilador em relação à fase da força externa? (Escolhas: -\pi/4,\\\ -\pi/2,\\\ +\pi/4,\\\ +\pi/2.)

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento (lei de Newton com amortecimento e força forçante):
m\ddot x + b\dot x + k x = F_0\cos(\Omega t),
onde aqui \;F_0=50\; (amplitude da força), \;x(t)\; é o deslocamento, \ddot x é aceleração e \dot x é velocidade. Cada termo significa:
  • m\ddot x: inércia,
  • b\dot x: força viscosa (proporcional à velocidade),
  • k x: força da mola,
  • F_0\cos(\Omega t): força externa periódica.
No regime estacionário a solução particular tem a mesma frequência da força, portanto procuramos uma solução do tipo
x(t)=X\cos(\Omega t-\varphi),
onde X é a amplitude estacionária e \varphi é o ângulo de fase (positivo se o deslocamento atrasa a força por \varphi, na convenção abaixo).

Passo 3

Vou derivar a fórmula da fase \varphi. Uma maneira prática é usar fasores (ou tentar x(t)=A\cos\Omega t + B\sin\Omega t e igualar coeficientes). Pelo método dos fasores, a resposta complexa tem amplitude complexa proporcional a
H(\Omega)=\frac{1}{k-m\Omega^{2}+i\,b\Omega}.
O deslocamento (fasor) é X_c=F_0 H(\Omega). A fase relativa entre deslocamento e força é o argumento (fase) de H(\Omega) com sinal apropriado. Isso leva às fórmulas padrão:
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^{2})^{2}+(b\Omega)^{2}}}
e
\varphi=\arctan\!\left(\frac{b\Omega}{\,k-m\Omega^{2}\,}\right),
onde \varphi é o ângulo pelo qual a resposta em deslocamento atrasa a excitação (ou seja, na forma x(t)=X\cos(\Omega t-\varphi), a força tem fase zero e o deslocamento tem fase -\varphi). Explicando as variáveis nesta fórmula:
  • b\Omega aparece associado ao termo imaginário que vem do amortecimento,
  • k-m\Omega^{2} vem da diferença entre rigidez e termo inercial à frequência \Omega,
  • \arctan dá o ângulo cuja tangente é essa razão.
(Se alguém preferir ver a derivação “com caneta”: substitua x(t)=A\cos\Omega t+B\sin\Omega t em m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\Omega t, equacione coeficientes de \cos e \sin, resolva para A,B e mostre que \tan\varphi=(b\Omega)/(k-m\Omega^2).)

Passo 4

Calcule a frequência natural (sem amortecimento) para termos números concretos:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
Como \Omega foi ajustada para valores imediatamente abaixo/acima de \omega_0, temos \Omega\approx\omega_0=5\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Agora o ponto-chave: comportamento da fase quando \Omega está muito perto de \omega_0.
Na fórmula \displaystyle \varphi=\arctan\!\left(\frac{b\Omega}{k-m\Omega^{2}}\right), quando \Omega\to\omega_0 o termo k-m\Omega^{2}\to 0. Assim a razão \dfrac{b\Omega}{k-m\Omega^{2}} tende a \pm\infty (o sinal depende se \Omega vem de baixo ou de cima), e portanto o arco-tangente tende, em módulo, a \dfrac{\pi}{2}. Em palavras: à medida que a frequência de excitação se aproxima da frequência natural, a defasagem entre deslocamento e força tende a 90 graus.
Na convenção usada (com x(t)=X\cos(\Omega t-\varphi)), isso significa que o deslocamento atrasa a força por \varphi\approx\pi/2, ou seja a fase do movimento em relação à fase da força é aproximadamente -\pi/2.
Observação sobre os dois lados (abaixo/acima): independentemente de se \Omega venha ligeiramente de baixo ou de cima, o módulo de \varphi aproxima-se de \pi/2; a resposta estacionária fica defasada em cerca de 90° (atrasada). Portanto a opção correta é o atraso de \pi/2.

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido: por mais confuso que pareça, a regra prática é: em baixa frequência o deslocamento está praticamente em fase com a força, em alta frequência está praticamente em oposição ( \pi), e exatamente na ressonância (ou muito próxima) o desfasamento é de \pi/2. Como o enunciado manda \Omega extremamente próximo da natural e estamos no regime estacionário, o desfasamento é -\pi/2.

Resposta

-\pi/2

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