Um sistema massa-mola é colocado a oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
A massa do oscilador é
, a constante elástica da mola é
e o coeficiente de amortecimento do meio é
. A frequência da força externa é cuidadosamente ajustada até atingir uma frequência abaixo (acima), porém, extremamente próxima à frequência natural do sistema. Espera-se o movimento atingir o regime estacionário.
Qual é a fase do movimento do oscilador, em relação à fase da força externa?
(a)
(b)
(c)
(d)
Qual é a fase do movimento do oscilador, em relação à fase da força externa?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Força externa:
- Massa:
- Constante elástica:
- Coeficiente de amortecimento:
- A frequência da força
é ajustada para valores imediatamente abaixo e imediatamente acima da frequência natural do sistema, ou seja, está extremamente próxima de . - Assume-se que o movimento atingiu o regime estacionário (os transientes já morreram).
Pergunta: Qual é a fase do movimento do oscilador em relação à fase da força externa? (Escolhas:
.)
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento (lei de Newton com amortecimento e força forçante):
onde aqui
(amplitude da força),
é o deslocamento,
é aceleração e
é velocidade. Cada termo significa:
-
: inércia, -
: força viscosa (proporcional à velocidade), -
: força da mola, -
: força externa periódica.
No regime estacionário a solução particular tem a mesma frequência da força, portanto procuramos uma solução do tipo
onde
é a amplitude estacionária e
é o ângulo de fase (positivo se o deslocamento atrasa a força por
, na convenção abaixo).
Passo 3
Vou derivar a fórmula da fase
. Uma maneira prática é usar fasores (ou tentar
e igualar coeficientes). Pelo método dos fasores, a resposta complexa tem amplitude complexa proporcional a
O deslocamento (fasor) é
. A fase relativa entre deslocamento e força é o argumento (fase) de
com sinal apropriado. Isso leva às fórmulas padrão:
e
onde
é o ângulo pelo qual a resposta em deslocamento atrasa a excitação (ou seja, na forma
, a força tem fase zero e o deslocamento tem fase
). Explicando as variáveis nesta fórmula:
-
aparece associado ao termo imaginário que vem do amortecimento, -
vem da diferença entre rigidez e termo inercial à frequência , -
dá o ângulo cuja tangente é essa razão.
(Se alguém preferir ver a derivação “com caneta”: substitua
em
, equacione coeficientes de
e
, resolva para
e mostre que
.)
Passo 4
Calcule a frequência natural (sem amortecimento) para termos números concretos:
Como
foi ajustada para valores imediatamente abaixo/acima de
, temos
.
Passo 5
Agora o ponto-chave: comportamento da fase quando
está muito perto de
.
Na fórmula
, quando
o termo
. Assim a razão
tende a
(o sinal depende se
vem de baixo ou de cima), e portanto o arco-tangente tende, em módulo, a
. Em palavras: à medida que a frequência de excitação se aproxima da frequência natural, a defasagem entre deslocamento e força tende a 90 graus.
Na convenção usada (com
), isso significa que o deslocamento atrasa a força por
, ou seja a fase do movimento em relação à fase da força é aproximadamente
.
Observação sobre os dois lados (abaixo/acima): independentemente de se
venha ligeiramente de baixo ou de cima, o módulo de
aproxima-se de
; a resposta estacionária fica defasada em cerca de 90° (atrasada). Portanto a opção correta é o atraso de
.
Passo 6
Resumo final e incentivo rápido: por mais confuso que pareça, a regra prática é: em baixa frequência o deslocamento está praticamente em fase com a força, em alta frequência está praticamente em oposição (
), e exatamente na ressonância (ou muito próxima) o desfasamento é de
. Como o enunciado manda
extremamente próximo da natural e estamos no regime estacionário, o desfasamento é
.
Resposta
-\pi/2