Um oscilador de massa
tem seu movimento descrito pela equação:
onde
e
são grandezas dadas em unidades do MKS.
Prova A: Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a
de seu valor inicial após duas oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s , determine:
A solução da equação diferencial para este oscilador é dada por:
Encontre
se o oscilador inicia seu movimento em
com velocidade inicial
.
(a) 20 cm
(b) 30 cm
(c) 40 cm
(d) 50 cm
(e) 60 cm
Prova A: Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a
A solução da equação diferencial para este oscilador é dada por:
(a) 20 cm
(b) 30 cm
(c) 40 cm
(d) 50 cm
(e) 60 cm
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
-
Dados do enunciado:
- Massa:
(informação dada, não necessariamente usada diretamente). - A equação do movimento é
. - A solução do oscilador (subamortecido) é dada por
- Observação experimental: a amplitude reduz para
do valor inicial após duas oscilações que levam no total. - Condições iniciais:
e .
- Massa:
-
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
(a amplitude inicial) e escolher a alternativa correta entre:
(a)(b) (c) (d) (e) .
- Determinar o valor de
Passo 2
Entender a relação de decaimento da amplitude para obter
.
-
A envoltória da amplitude (valor máximo que o fator oscilatório pode atingir) decai como
. -
A observação diz que, após duas oscilações (tempo
), a amplitude ficou do valor inicial, ou seja: Dividindo ambos os lados por(que é positivo), Portanto -
Interpretação curta: a constante de amortecimento
vale .
Passo 3
Determinar a frequência angular amortecida
a partir do período observado.
- Foram duas oscilações em
, então o período (tempo de uma oscilação) é - A frequência angular (da oscilação amortecida) é
Passo 4
Calcular a derivada
e aplicar as condições iniciais para relacionar
e
.
-
Derivando
usando a regra do produto: -
Calculando as derivadas:
-
Logo
-
Aplicando as condições iniciais em
: - De
obtemos As soluções mais simples são ou . - Substituindo em
: Como , isso simplifica para
- De
Passo 5
Determinar
usando
e o valor de
.
-
Para
temos , então Substituindoe : Numericamente, -
Para
teríamos e então o que daria amplitude negativa (convenção normalmente). Por isso escolhemos e . -
Arredondando para a alternativa mais próxima,
, que é aproximadamente .
Resposta
(a)