Um oscilador de massa m=2 \mathrm{~kg} tem seu movimento descrito pela equação:
ddot{x}+B \dot{x}+C x=0,
onde \ddot{x}, \dot{x} e x são grandezas dadas em unidades do MKS.
Prova A: Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1 / e^{2} de seu valor inicial após duas oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s , determine:
A solução da equação diferencial para este oscilador é dada por:
x(t)=A e^{-\gamma t / 2} \cos (\omega t+\varphi)
Encontre A se o oscilador inicia seu movimento em x(0)=0 com velocidade inicial v(0)= -1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) 20 cm
(b) 30 cm
(c) 40 cm
(d) 50 cm
(e) 60 cm

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
  • Dados do enunciado:
    • Massa: m=2\\ \mathrm{kg} (informação dada, não necessariamente usada diretamente).
    • A equação do movimento é \ddot{x}+B\dot{x}+Cx=0.
    • A solução do oscilador (subamortecido) é dada por x(t)=A e^{-\gamma t/2}\cos(\omega t+\varphi).
    • Observação experimental: a amplitude reduz para 1/e^{2} do valor inicial após duas oscilações que levam 2\\ \mathrm{s} no total.
    • Condições iniciais: x(0)=0 e v(0)=\dot{x}(0)=-1{,}2\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o valor de A (a amplitude inicial) e escolher a alternativa correta entre:
      (a) 20\\ \text{cm} (b) 30\\ \text{cm} (c) 40\\ \text{cm} (d) 50\\ \text{cm} (e) 60\\ \text{cm}.

Passo 2

Entender a relação de decaimento da amplitude para obter \gamma.
  • A envoltória da amplitude (valor máximo que o fator oscilatório pode atingir) decai como A e^{-\gamma t/2}.
  • A observação diz que, após duas oscilações (tempo t=2\\ \mathrm{s}), a amplitude ficou \dfrac{1}{e^{2}} do valor inicial, ou seja:
    A e^{-\gamma(2)/2}=A\cdot \frac{1}{e^{2}}.
    Dividindo ambos os lados por A (que é positivo),
    e^{-\gamma\cdot 1}=e^{-2}.
    Portanto
    e^{-\gamma}=e^{-2}\quad\Rightarrow\quad \gamma=2\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Interpretação curta: a constante de amortecimento \gamma vale 2\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Determinar a frequência angular amortecida \omega a partir do período observado.
  • Foram duas oscilações em 2\\ \mathrm{s}, então o período (tempo de uma oscilação) é T=\frac{2\\ \mathrm{s}}{2}=1\\ \mathrm{s}.
  • A frequência angular (da oscilação amortecida) é \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a derivada \dot{x}(t) e aplicar as condições iniciais para relacionar A e \varphi.
  • Derivando x(t)=A e^{-\gamma t/2}\cos(\omega t+\varphi) usando a regra do produto:
    \dot{x}(t)=A\frac{d}{dt}\big(e^{-\gamma t/2}\big)\cos(\omega t+\varphi) +A e^{-\gamma t/2}\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t+\varphi)\big).
  • Calculando as derivadas:
    \frac{d}{dt}\big(e^{-\gamma t/2}\big)=-\frac{\gamma}{2}e^{-\gamma t/2}, \qquad \frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t+\varphi)\big)=-\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Logo
    \dot{x}(t)=A e^{-\gamma t/2}\left(-\frac{\gamma}{2}\cos(\omega t+\varphi)-\omega\sin(\omega t+\varphi)\right).
  • Aplicando as condições iniciais em t=0:
    • De x(0)=0 obtemos x(0)=A\cos(\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(\varphi)=0.As soluções mais simples são \varphi=\tfrac{\pi}{2} ou \varphi=-\tfrac{\pi}{2}.
    • Substituindo em \dot{x}(0): \dot{x}(0)=A\left(-\frac{\gamma}{2}\cos\varphi-\omega\sin\varphi\right).Como \cos\varphi=0, isso simplifica para \dot{x}(0)=-A\omega\sin\varphi.

Passo 5

Determinar A usando \dot{x}(0)=-1{,}2\\ \mathrm{m/s} e o valor de \omega.
  • Para \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos \sin\varphi=1, então
    \dot{x}(0)=-A\omega\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{\dot{x}(0)}{\omega}.
    Substituindo \dot{x}(0)=-1{,}2 e \omega=2\pi:
    A=-\frac{-1{,}2}{2\pi}=\frac{1{,}2}{2\pi}=\frac{0{,}6}{\pi}\\ \mathrm{m}.
    Numericamente,
    A\approx\frac{0{,}6}{3{,}14159}\approx 0{,}19099\\ \mathrm{m}\approx 19{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • Para \varphi=-\tfrac{\pi}{2} teríamos \sin\varphi=-1 e então
    \dot{x}(0)=-A\omega(-1)=A\omega\quad\Rightarrow\quad A=\frac{\dot{x}(0)}{\omega}=\frac{-1{,}2}{2\pi}<0,
    o que daria amplitude negativa (convenção normalmente A>0). Por isso escolhemos \varphi=\tfrac{\pi}{2} e A>0.
  • Arredondando para a alternativa mais próxima, A\approx 19{,}1\\ \mathrm{cm}, que é aproximadamente 20\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) 20\\ \text{cm}

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