Um sistema massa-mola é colocado a oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
A massa do oscilador é
, a constante elástica da mola é
e o coeficiente de amortecimento do meio é
. A frequência da força externa é cuidadosamente ajustada até atingir uma frequência abaixo (acima), porém, extremamente próxima à frequência natural do sistema. Espera-se o movimento atingir o regime estacionário.
Qual é o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio?
(a) 200 m
(b) 250 m
(c) 400 m
(d) 500 m
(e) 600 m
Qual é o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio?
(a) 200 m
(b) 250 m
(c) 400 m
(d) 500 m
(e) 600 m
Passo 1
O enunciado pede o deslocamento máximo (amplitude no regime estacionário) de um oscilador massa-mola amortecido e forçado por uma força periódica. Dados fornecidos:
- Força externa:
. Então a amplitude da força é . - Massa:
. - Constante elástica:
. - Coeficiente de amortecimento (viscoso):
.
A pergunta: qual é o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio quando a frequência da forçaé ajustada extremamente próxima (por baixo ou por cima) da frequência natural do sistema, no regime estacionário?
Passo 2
Modelo matemático e objetivo: a equação do movimento para o regime forçado e amortecido é
No regime estacionário buscamos a solução particular que é uma oscilação forçada com a mesma frequência da força. Logo assumimos uma solução do tipo
onde
é a amplitude estacionária (o que queremos) e
é o deslocamento de fase entre resposta e força. Vou explicar como obter
.
Passo 3
Cálculo das derivadas e substituição: derivando
,
Substituindo na equação do movimento:
Agrupando termos em seno e cosseno (usando identidade de fase) e igualando coeficientes, ou usando a forma fasorial, chega-se à expressão padrão para a amplitude:
Aqui cada símbolo significa:
-
: amplitude da resposta no regime estacionário quando a força tem frequência . -
: amplitude da força (aqui ). -
: termo relacionado à diferença entre força restauradora da mola e a inércia na frequência . -
: termo relacionado ao amortecimento (proporcional à velocidade).
Passo 4
Frequência natural e comportamento próximo a ela: a frequência natural do sistema sem amortecimento é
Quando a força é ajustada extremamente próxima da frequência natural (
), o termo
fica muito pequeno (próximo de zero). Nessa situação a fórmula da amplitude simplifica, porque o primeiro termo dentro da raiz se anula, restando principalmente o termo do amortecimento:
Explicação física simples: perto da ressonância a inércia e a rigidez se equilibram e o amortecimento limita a amplitude; por isso a amplitude máxima é aproximadamente dada por razão força/amortecimento.
Passo 5
Calcular valores numéricos passo a passo:
Primeiro a frequência natural:
Primeiro a frequência natural:
Em seguida o produto
:
Agora a amplitude aproximada perto da ressonância:
Interpretação: com amortecimento tão pequeno, a amplitude no regime estacionário perto da frequência natural fica muito grande; o cálculo direto usando a expressão completa de
e
muito próximo de
leva essencialmente ao mesmo valor.
Passo 6
Verificação rápida da validade da aproximação: o valor exato máximo ocorre numa frequência ligeiramente menor que
quando há amortecimento, mas para amortecimento pequeno a diferença é desprezível. Como
é bem pequeno frente a
e
, a aproximação
é adequada aqui, então o deslocamento máximo calculado é confiável.
Resposta
(b) 250 m