Um sistema massa-mola é colocado a oscilar dentro de um meio viscoso sob a ação de uma força periódica
F(t)=50 \cos (\Omega t) \mathrm{N} .
A massa do oscilador é m=2 \mathrm{~kg}, a constante elástica da mola é k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e o coeficiente de amortecimento do meio é b=0,04 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A frequência da força externa é cuidadosamente ajustada até atingir uma frequência abaixo (acima), porém, extremamente próxima à frequência natural do sistema. Espera-se o movimento atingir o regime estacionário.
Qual é o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio?
(a) 200 m
(b) 250 m
(c) 400 m
(d) 500 m
(e) 600 m

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento máximo (amplitude no regime estacionário) de um oscilador massa-mola amortecido e forçado por uma força periódica. Dados fornecidos:
  • Força externa: F(t)=50\cos(\Omega t)\\ \mathrm{N}. Então a amplitude da força é F_0=50\\ \mathrm{N}.
  • Massa: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica: k=50\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento (viscoso): b=0,04\\ \mathrm{kg/s}.
    A pergunta: qual é o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio quando a frequência da força \Omega é ajustada extremamente próxima (por baixo ou por cima) da frequência natural do sistema, no regime estacionário?

Passo 2

Modelo matemático e objetivo: a equação do movimento para o regime forçado e amortecido é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos(\Omega t).
No regime estacionário buscamos a solução particular que é uma oscilação forçada com a mesma frequência da força. Logo assumimos uma solução do tipo
x_p(t)=A\cos(\Omega t-\delta),
onde A é a amplitude estacionária (o que queremos) e \delta é o deslocamento de fase entre resposta e força. Vou explicar como obter A.

Passo 3

Cálculo das derivadas e substituição: derivando x_p,
\dot{x}_p(t)=-A\Omega\sin(\Omega t-\delta), \qquad \ddot{x}_p(t)=-A\Omega^2\cos(\Omega t-\delta).
Substituindo na equação do movimento:
m(-A\Omega^2\cos(\Omega t-\delta))+b(-A\Omega\sin(\Omega t-\delta))+k(A\cos(\Omega t-\delta))=F_0\cos(\Omega t).
Agrupando termos em seno e cosseno (usando identidade de fase) e igualando coeficientes, ou usando a forma fasorial, chega-se à expressão padrão para a amplitude:
A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • A(\Omega): amplitude da resposta no regime estacionário quando a força tem frequência \Omega.
  • F_0: amplitude da força (aqui 50).
  • k-m\Omega^2: termo relacionado à diferença entre força restauradora da mola e a inércia na frequência \Omega.
  • b\Omega: termo relacionado ao amortecimento (proporcional à velocidade).

Passo 4

Frequência natural e comportamento próximo a ela: a frequência natural do sistema sem amortecimento é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Quando a força é ajustada extremamente próxima da frequência natural ( \Omega\approx\omega_0), o termo k-m\Omega^2 fica muito pequeno (próximo de zero). Nessa situação a fórmula da amplitude simplifica, porque o primeiro termo dentro da raiz se anula, restando principalmente o termo do amortecimento:
A(\Omega\approx\omega_0)\approx\frac{F_0}{b\Omega}\approx\frac{F_0}{b\omega_0}.
Explicação física simples: perto da ressonância a inércia e a rigidez se equilibram e o amortecimento limita a amplitude; por isso a amplitude máxima é aproximadamente dada por razão força/amortecimento.

Passo 5

Calcular valores numéricos passo a passo:
Primeiro a frequência natural:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.
Em seguida o produto b\omega_0:
b\omega_0=0,04\times 5=0,2\\ \mathrm{kg/s}\cdot\mathrm{rad/s} \\ (\text{unidade que combina com }F_0\text{ ao dividir}).
Agora a amplitude aproximada perto da ressonância:
A\approx\frac{F_0}{b\omega_0}=\frac{50}{0,2}=250\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com amortecimento tão pequeno, a amplitude no regime estacionário perto da frequência natural fica muito grande; o cálculo direto usando a expressão completa de A(\Omega) e \Omega muito próximo de \omega_0 leva essencialmente ao mesmo valor.

Passo 6

Verificação rápida da validade da aproximação: o valor exato máximo ocorre numa frequência ligeiramente menor que \omega_0 quando há amortecimento, mas para amortecimento pequeno a diferença é desprezível. Como b é bem pequeno frente a m e k, a aproximação A\approx F_0/(b\omega_0) é adequada aqui, então o deslocamento máximo calculado é confiável.

Resposta

(b) 250 m

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