Um sistema de massa mola é modelado pela seguinte equação diferencial.
Onde
e
se a massa é deslocada
da posição de equitibrio e solta com velocidade inicial igual a zero, determine a frequência natural.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema de massa-mola descrito por uma equação diferencial onde a massa $ m = 2 , kg $ e a constante da mola $ k = 8 , N/m $. A massa é deslocada $ 0,5 , m $ da posição de equilíbrio e solta sem velocidade inicial. Nosso objetivo é determinar a frequência natural desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento harmônico simples e como a frequência natural está relacionada à massa e à constante da mola.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial fornecida:
Esta é a equação do movimento para um sistema massa-mola sem amortecimento. Aqui, $ \frac{d{2}x}{dt{2}} $ representa a aceleração da massa.
Passo 3
Sabemos que a equação do movimento para um movimento harmônico simples (MHS) é:
Comparando com a equação dada, podemos identificar que:
Onde $ \omega $ é a frequência angular natural do sistema.
Passo 4
Vamos calcular $ \omega $:
Então, a frequência angular natural é $ 2 , rad/s $.
Passo 5
Agora, para encontrar a frequência natural $ f $ em Hertz (Hz), usamos a relação entre frequência angular e frequência:
Resposta
A frequência natural do sistema é aproximadamente $ 0,318 , Hz $.