Um sistema de massa mola é modelado pela seguinte equação diferencial.
m d^2 xd t^2+k x=0
Onde m=2 kg e k=8 N / m se a massa é deslocada 0,5 m da posição de equitibrio e solta com velocidade inicial igual a zero, determine a frequência natural.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema de massa-mola descrito por uma equação diferencial onde a massa $ m = 2 , kg $ e a constante da mola $ k = 8 , N/m $. A massa é deslocada $ 0,5 , m $ da posição de equilíbrio e solta sem velocidade inicial. Nosso objetivo é determinar a frequência natural desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento harmônico simples e como a frequência natural está relacionada à massa e à constante da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial fornecida:
m d^2xdt^2 + kx = 0
Esta é a equação do movimento para um sistema massa-mola sem amortecimento. Aqui, $ \frac{d{2}x}{dt{2}} $ representa a aceleração da massa.

Passo 3

Sabemos que a equação do movimento para um movimento harmônico simples (MHS) é:
d^2xdt^2 + omega^2x = 0
Comparando com a equação dada, podemos identificar que:
omega^2 = km
Onde $ \omega $ é a frequência angular natural do sistema.

Passo 4

Vamos calcular $ \omega $:
omega
Então, a frequência angular natural é $ 2 , rad/s $.

Passo 5

Agora, para encontrar a frequência natural $ f $ em Hertz (Hz), usamos a relação entre frequência angular e frequência:
f

Resposta

A frequência natural do sistema é aproximadamente $ 0,318 , Hz $.

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