Questāo 2
Ainda nāo respondida
Vale 1,00 ponto(s).
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Sobre a Equação Diferencial Ordinária:
e da sua solução geral, assinale a(as) alternativa(s) correta(s)
Escolha uma ou mais:
a. É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.
b. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de ve y é dada por:
c. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de x e u é dada por:
d. A soluçaõ trivial
é solução desse PVI
e. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de u e x é dada por:
Vale 1,00 ponto(s).
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que identifiquemos quais das alternativas (a) a (e) são corretas. As informações úteis que o enunciado fornece são:
- A EDO dada na forma diferencial com termos em
e . - As alternativas comentam sobre linearidade, homogeneidade, mudanças de variável
e , existência da solução trivial e expressões integrais para a solução após substituições.
A partir disso precisamos verificar, item por item, se cada afirmação está certa, mostrando os cálculos e justificativas.
Passo 2
Primeiro reorganizo a EDO de forma explícita para
para entender a natureza da equação. Dividindo ambos os lados por
e isolando
obtenho:
Simplifico um fator comum
:
Isto mostra que a equação não é da forma linear
(porque o lado direito é uma função racional de
e
, não linear em
com coeficientes que dependem só de
). Então a EDO é não linear.
Passo 3
Agora vou verificar a afirmação sobre homogeneidade (alternativa a). Definição (explicando devagar): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
Se na forma diferencial a equação pode ser escrita como
com
e
homogêneas do mesmo grau
, dizemos que a EDO é homogênea (e costuma ser tratada com a substituição
ou
). Reescrevendo a equação em forma
obtemos, multiplicando por
para combinar com o padrão,
Aqui
e
. Verifico grau:
-
. -
.
Portanto ambos são homogêneos de grau. Conclusão: a EDO é não linear e homogênea de grau . Assim a alternativa (a) é verdadeira.
Passo 4
Verifico a solução trivial
(alternativa d). Se
então
. Substituindo na equação original:
ou de forma
,
A igualdade é satisfeita identicamente (os dois lados são zero), logo
é solução da EDO. Conclusão: alternativa (d) é verdadeira.
Passo 5
Agora trato a substituição padrão para equações homogêneas:
. Vou mostrar passo a passo como obter a integral que aparece na alternativa (c). Começo escrevendo
, então
Substituo isso e
na expressão que obtivemos em Passo 2:
Calculo o lado direito simplificando
:
Logo
Isolo
:
Faço uma fração comum no lado direito:
Então
Agora separo variáveis escrevendo tudo em
de um lado e em
do outro:
Integrando ambos os lados:
Reescrevo isolando exatamente como na alternativa (c):
Observe que
, então a expressão corresponde exatamente à alternativa (c). Portanto (c) está correta.
Passo 6
Faço a integral do Passo 5 para obter a forma explícita da solução pelo método
(isso não era pedido mas ajuda a confirmar). Integro a parte em
. Para integrar
faço decomposição em frações parciais ou separo termos. Note que
Multiplicando por
:
Agrupando termos:
Comparando coeficientes:
- termo constante:
. - termo
: .
Logo
Integro:
Para a segunda integral, faça a substituição
,
, então
Portanto a integral total é
Voltando à igualdade com o lado em
(Passo 5), temos
Reescrevendo:
ou exponenciando:
Substituindo
(porque
) e simplificando signos conforme o caso, obtemos a constante implícita da solução. Isso confirma a consistência do método
e a integral do item (c).
Passo 7
Agora verifico a substituição alternativa
(itens b e possivelmente e). Faço a substituição
. Então
. Substituo na equação original:
Com
obtemos
. Substituindo:
Factoro
em ambos lados (assumindo
para dividir; a solução
já tratamos):
Agrupo os termos em
:
Separo variáveis:
Integro:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Logo
Portanto a solução geral na substituição
é
Isto mostra que a alternativa (b), que afirmava
está incorreta (a dependência correta em
é racional
, não multiplicativa exponencial
com
). Logo (b) é falsa.
Passo 8
Verifico a alternativa (e) que diz, com a mudança
,
Comparo com o que obtivemos no Passo 5: a expressão correta é
A alternativa (e) omite o termo
no numerador, isto é, substitui
por
, o que altera completamente a integral. Portanto (e) é falsa.
Resposta
a
c
d