Questāo 2

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Sobre a Equação Diferencial Ordinária: \left(6 y^{2}-2 x^{2}\right) d y=-4 x y d x e da sua solução geral, assinale a(as) alternativa(s) correta(s)
Escolha uma ou mais:
\square a. É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.
\square b. A partir da mudança de variável x=v y a solução geral em termos de ve y é dada por: y=\left(1+v^{2}\right) e^{k} ; k \in R ; y>0
\square c. A partir da mudança de variável y=u x a solução geral em termos de x e u é dada por: \int \frac{d x}{x}=-\int \frac{\left(3 u^{2}-1\right)}{u\left(3 u^{2}+1\right)} d u
\square d. A soluçaõ trivial y=0 é solução desse PVI
\square e. A partir da mudança de variável y=u x a solução geral em termos de u e x é dada por: \int \frac{d x}{x}=-\int \frac{\left(3 u^{2}\right)}{u\left(3 u^{2}+1\right)} d u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(6 y^{2}-2 x^{2}\right) d y=-4 x y d x
e pede que identifiquemos quais das alternativas (a) a (e) são corretas. As informações úteis que o enunciado fornece são:
  • A EDO dada na forma diferencial com termos em x e y.
  • As alternativas comentam sobre linearidade, homogeneidade, mudanças de variável x=v y e y=u x, existência da solução trivial y=0 e expressões integrais para a solução após substituições.
    A partir disso precisamos verificar, item por item, se cada afirmação está certa, mostrando os cálculos e justificativas.

Passo 2

Primeiro reorganizo a EDO de forma explícita para dy/dx para entender a natureza da equação. Dividindo ambos os lados por dx e isolando dy/dx obtenho:
\frac{dy}{dx}=\frac{-4xy}{6y^{2}-2x^{2}}.
Simplifico um fator comum 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{3y^{2}-x^{2}}.
Isto mostra que a equação não é da forma linear dy/dx + P(x)y = Q(x) (porque o lado direito é uma função racional de x e y, não linear em y com coeficientes que dependem só de x). Então a EDO é não linear.

Passo 3

Agora vou verificar a afirmação sobre homogeneidade (alternativa a). Definição (explicando devagar): uma função F(x,y) é homogênea de grau n se, para todo \lambda,
F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{n}F(x,y).
Se na forma diferencial a equação pode ser escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M e N homogêneas do mesmo grau n, dizemos que a EDO é homogênea (e costuma ser tratada com a substituição y=ux ou x=vy). Reescrevendo a equação em forma M\,dx+N\,dy=0 obtemos, multiplicando por -1 para combinar com o padrão,
4xy\,dx + (6y^{2}-2x^{2})\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=4xy e N(x,y)=6y^{2}-2x^{2}. Verifico grau:
  • M(\lambda x,\lambda y)=4(\lambda x)(\lambda y)=\lambda^{2}4xy=\lambda^{2}M(x,y).
  • N(\lambda x,\lambda y)=6(\lambda y)^{2}-2(\lambda x)^{2}=\lambda^{2}(6y^{2}-2x^{2})=\lambda^{2}N(x,y).
    Portanto ambos são homogêneos de grau \,2. Conclusão: a EDO é não linear e homogênea de grau \,2. Assim a alternativa (a) é verdadeira.

Passo 4

Verifico a solução trivial y=0 (alternativa d). Se y(x)\equiv 0 então dy/dx\equiv 0. Substituindo na equação original:
\left(6\cdot 0^{2}-2x^{2}\right)\cdot 0 = -4x\cdot 0\cdot dx,
ou de forma dy/dx,
0 = \frac{-2x\cdot 0}{3\cdot 0^{2}-x^{2}} = 0.
A igualdade é satisfeita identicamente (os dois lados são zero), logo y\equiv 0 é solução da EDO. Conclusão: alternativa (d) é verdadeira.

Passo 5

Agora trato a substituição padrão para equações homogêneas: y=u x. Vou mostrar passo a passo como obter a integral que aparece na alternativa (c). Começo escrevendo y=u x, então
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituo isso e y=ux na expressão que obtivemos em Passo 2:
u + x\frac{du}{dx} = \frac{-2x(ux)}{3(ux)^{2}-x^{2}}.
Calculo o lado direito simplificando x^{2}:
\frac{-2u x^{2}}{x^{2}(3u^{2}-1)}=\frac{-2u}{3u^{2}-1}.
Logo
u + x\frac{du}{dx} = \frac{-2u}{3u^{2}-1}.
Isolo x\frac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx} = \frac{-2u}{3u^{2}-1} - u.
Faço uma fração comum no lado direito:
\frac{-2u - u(3u^{2}-1)}{3u^{2}-1} = \frac{-2u -3u^{3} + u}{3u^{2}-1} = \frac{-u(1+3u^{2})}{3u^{2}-1}.
Então
x\frac{du}{dx} = \frac{-u(1+3u^{2})}{3u^{2}-1}.
Agora separo variáveis escrevendo tudo em u de um lado e em x do outro:
\frac{3u^{2}-1}{u(1+3u^{2})}\,du = -\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{3u^{2}-1}{u(1+3u^{2})}\,du = -\int \frac{dx}{x}.
Reescrevo isolando exatamente como na alternativa (c):
\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du.
Observe que 1+3u^{2}=3u^{2}+1, então a expressão corresponde exatamente à alternativa (c). Portanto (c) está correta.

Passo 6

Faço a integral do Passo 5 para obter a forma explícita da solução pelo método y=ux (isso não era pedido mas ajuda a confirmar). Integro a parte em u. Para integrar
\int \frac{3u^{2}-1}{u(1+3u^{2})}\,du
faço decomposição em frações parciais ou separo termos. Note que
\frac{3u^{2}-1}{u(1+3u^{2})}=\frac{A}{u}+\frac{B u}{1+3u^{2}}.
Multiplicando por u(1+3u^{2}):
3u^{2}-1 = A(1+3u^{2}) + B u^{2}.
Agrupando termos:
3u^{2}-1 = A + (3A + B)u^{2}.
Comparando coeficientes:
  • termo constante: -1 = A \Rightarrow A = -1.
  • termo u^{2}: 3 = 3A + B \Rightarrow 3 = 3(-1) + B \Rightarrow B = 6.
    Logo
\frac{3u^{2}-1}{u(1+3u^{2})} = -\frac{1}{u} + \frac{6u}{1+3u^{2}}.
Integro:
\int\left(-\frac{1}{u} + \frac{6u}{1+3u^{2}}\right)du = -\ln|u| + \int \frac{6u}{1+3u^{2}}du.
Para a segunda integral, faça a substituição w=1+3u^{2}, dw=6u\,du, então
\int \frac{6u}{1+3u^{2}}du = \int \frac{1}{w}dw = \ln|w| = \ln|1+3u^{2}|.
Portanto a integral total é
-\ln|u| + \ln|1+3u^{2}| = \ln\!\left(\frac{1+3u^{2}}{|u|}\right).
Voltando à igualdade com o lado em x (Passo 5), temos
\ln\!\left(\frac{1+3u^{2}}{|u|}\right) = -\ln|x| + C.
Reescrevendo:
\ln\!\left(|x|\frac{1+3u^{2}}{|u|}\right) = C,
ou exponenciando:
|x|\frac{1+3u^{2}}{|u|} = C_1.
Substituindo u=y/x (porque u=y/x) e simplificando signos conforme o caso, obtemos a constante implícita da solução. Isso confirma a consistência do método y=ux e a integral do item (c).

Passo 7

Agora verifico a substituição alternativa x=v y (itens b e possivelmente e). Faço a substituição x=v y. Então dx = v\,dy + y\,dv. Substituo na equação original:
(6y^{2}-2x^{2})\,dy = -4xy\,dx.
Com x=v y obtemos x^{2}=v^{2}y^{2}. Substituindo:
(6y^{2}-2v^{2}y^{2})\,dy = -4(vy)y\big(v\,dy + y\,dv\big).
Factoro y^{2} em ambos lados (assumindo y\neq 0 para dividir; a solução y=0 já tratamos):
(6-2v^{2})\,dy = -4v^{2}\,dy -4v y\,dv.
Agrupo os termos em dy:
(6-2v^{2}+4v^{2})\,dy = -4v y\,dv,
(6+2v^{2})\,dy = -4v y\,dv.
Separo variáveis:
\frac{dy}{y} = -\frac{4v}{6+2v^{2}}\,dv = -\frac{2v}{3+v^{2}}\,dv.
Integro:
\int \frac{dy}{y} = -2\int \frac{v}{3+v^{2}}\,dv.
Fazendo a substituição w=3+v^{2}, dw=2v\,dv, obtemos
\ln|y| = -\int \frac{dw}{w} + C = -\ln|3+v^{2}| + C.
Logo
\ln|y| + \ln|3+v^{2}| = C \quad\Rightarrow\quad y(3+v^{2}) = C_{2}.
Portanto a solução geral na substituição x=v y é
y = \frac{C_{2}}{3+v^{2}}.
Isto mostra que a alternativa (b), que afirmava
y=(1+v^{2})e^{k},\quad k\in\mathbb{R},\\ y>0,
está incorreta (a dependência correta em v é racional \propto 1/(3+v^{2}), não multiplicativa exponencial e^{k} com 1+v^{2}). Logo (b) é falsa.

Passo 8

Verifico a alternativa (e) que diz, com a mudança y=ux,
\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{3u^{2}}{u(3u^{2}+1)}\,du.
Comparo com o que obtivemos no Passo 5: a expressão correta é
\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du.
A alternativa (e) omite o termo -1 no numerador, isto é, substitui 3u^{2}-1 por 3u^{2}, o que altera completamente a integral. Portanto (e) é falsa.

Resposta

a
c
d

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