A matriz A tem entradas a_{11}=1,\;a_{12}=1,\;a_{21}=4,\;a_{22}=1.
A solução pedida é uma matriz 2×2 função do tempo t que gera todas as soluções via \mathbf{x}(t)=\boldsymbol{\Phi}(t)\mathbf{c} e que em t=0 vale a identidade.]
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma amigável): como A é uma matriz 2\times2, o caminho mais direto é diagonalizá-la (se for diagonalizável) e usar
\boldsymbol{\Phi}(t)=P\,e^{Dt}\,P^{-1},
onde D é a matriz diagonal de autovalores e P tem os autovetores como colunas. Isso funciona bem quando A tem autovalores distintos (fica bem simples). Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Calcular os autovalores de A. Primeiro a equação característica: