Determine as seguintes equações (Utilizar as propriedades de somatório), sabendo-se que os valores de X e Y são:
\triangle \int_{i=1}^{5} x_{i}=28
\sum_{i=1}^{5} Y_{i}=24
\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}=174
d) $ \sum_{i=1}^{5}\left(3 X_{i}-Y_{i}\right)

Passo 1

O enunciado nos fornece (notei que a primeira linha estava com símbolos estranhos; interpretei como soma de x_i):
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_{i}=28
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} Y_{i}=24
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=174
A pergunta é calcular:
\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\left(3 X_{i}-Y_{i}\right).

Passo 2

Propriedades de somatórios que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Linearidade: somar termos é distributivo sobre adição. Isso significa que, para sequências a_i e b_i, \displaystyle \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i.Intuição: somar a soma termo a termo é igual à soma separada de cada sequência.
  • Constante fator: uma constante pode sair do somatório. Para constante c, \displaystyle \sum_{i=1}^{n} c\,a_i = c\sum_{i=1}^{n} a_i.Intuição: multiplicar cada termo por c e somar é o mesmo que multiplicar a soma por c.
  • Combinação das duas: para diferença vale \displaystyle \sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_i-\sum_{i=1}^{n}b_i.
Exemplo rápido e concreto: se a_i=(1,2,3) e b_i=(4,5,6), então \sum(a_i-b_i)= (1-4)+(2-5)+(3-6)=-9, e \sum a_i-\sum b_i=(1+2+3)-(4+5+6)=6-15=-9. Dá certo porque usamos as propriedades acima.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao somatório pedido:
\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\left(3 X_{i}-Y_{i}\right)=3\sum_{i=1}^{5}X_{i}-\sum_{i=1}^{5}Y_{i}.
Agora substituímos os valores fornecidos:
3\sum_{i=1}^{5}X_{i}-\sum_{i=1}^{5}Y_{i}=3\cdot 28-24.
Calculando passo a passo:
3\cdot 28=84,
84-24=60.

Passo 4

Interpretação final: usando a linearidade dos somatórios e o fato de que uma constante sai do somatório, chegamos ao resultado numérico 60. A soma dos quadrados \displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i^2 não foi necessária para este item, mas provavelmente aparece em outros itens da lista.

Resposta

60

Exercícios relacionados