(a) Se y=\operatorname{arctg} x, mostre que \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1 Dderivar imp.
(b) Encontre a linearização de f(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x}) em a=1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes e nos dá as seguintes informações:
  • (a) Foi dada a função \;y=\operatorname{arctg} x\; e pede para mostrar a derivada \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
  • (b) Foi dada a função \;f(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\; e pede-se a linearização de f em a=1.
Não começo a resolver nada ainda — só listei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos resolver (a) usando diferenciação implícita — ideia: passar para a função trigonométrica direta e derivar em relação a x.
Começo escrevendo a relação inversa: se \;y=\operatorname{arctg} x\;, então por definição de função inversa
x=\tan y.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo a derivada de x em relação a x é 1. No lado direito usamos a regra da cadeia: a derivada de \tan y em relação a x é \operatorname{sec}^2 y\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Assim obtemos
1=\operatorname{sec}^2 y\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
Isolando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} vem
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.

Passo 3

Agora usamos uma identidade trigonométrica e a relação inicial para escrever tudo em termos de x. A identidade é
\operatorname{sec}^2 y = 1+\tan^2 y.
Como de início tínhamos \tan y = x, substituindo dá
\operatorname{sec}^2 y = 1+x^2.
Portanto, substituindo na fórmula anterior,
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+x^2}.
Pronto — essa é a derivada de \operatorname{arctg} x. Pequena dica: essa é uma das derivadas que vale a pena decorar porque aparece muito.

Passo 4

Agora a parte (b): linearização. Lembrete do conceito — a linearização (aproximação linear, reta tangente) de f em torno de a é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Então preciso calcular f(1) e f'(1) para usar a fórmula.
Defino f(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x}). Vou aplicar a regra da cadeia: se u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} então f(x)=\operatorname{arctg}(u(x)). A derivada é
f'(x)=\frac{1}{1+u(x)^2}\cdot u'(x).
Calculo u'(x): como u(x)=x^{1/2},
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Também u(x)^2=(\sqrt{x})^2=x. Substituindo,
f'(x)=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.

Passo 5

Agora avalio em a=1.
Primeiro f(1)=\operatorname{arctg}(\sqrt{1})=\operatorname{arctg}(1). Sabendo que \operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4},
f(1)=\frac{\pi}{4}.
Depois
f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}\,(1+1)}=\frac{1}{2\cdot 1 \cdot 2}=\frac{1}{4}.
Agora uso a fórmula da linearização:
L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}(x-1).

Passo 6

Interpretação e dica prática: L(x) é a reta que aproxima f(x) perto de x=1. Por exemplo, para x=1{,}1 (ou seja x=1,1) a aproximação seria
L(1{,}1)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}(1{,}1-1)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\cdot 0{,}1=\frac{\pi}{4}+0{,}025.
Isso dá uma noção de como usar a linearização na prova: calcule f(a) e f'(a) e aplique L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
Força — tá ficando bom; memorizando a derivada de \operatorname{arctg} x e praticando cadeia/implícita, essas questões saem rápido na prova.

Resposta

\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{1+x^{2}}
L(x)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{4}(x-1)

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