(a) Se
, mostre que
Dderivar imp.
(b) Encontre a linearização de
em
.
(b) Encontre a linearização de
Passo 1
O enunciado tem duas partes e nos dá as seguintes informações:
- (a) Foi dada a função
e pede para mostrar a derivada . - (b) Foi dada a função
e pede-se a linearização de em .
Não começo a resolver nada ainda — só listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos resolver (a) usando diferenciação implícita — ideia: passar para a função trigonométrica direta e derivar em relação a
.
Começo escrevendo a relação inversa: se
, então por definição de função inversa
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo a derivada de
em relação a
é
. No lado direito usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Assim obtemos
Isolando
vem
Passo 3
Agora usamos uma identidade trigonométrica e a relação inicial para escrever tudo em termos de
. A identidade é
Como de início tínhamos
, substituindo dá
Portanto, substituindo na fórmula anterior,
Pronto — essa é a derivada de
. Pequena dica: essa é uma das derivadas que vale a pena decorar porque aparece muito.
Passo 4
Agora a parte (b): linearização. Lembrete do conceito — a linearização (aproximação linear, reta tangente) de
em torno de
é
Então preciso calcular
e
para usar a fórmula.
Defino
. Vou aplicar a regra da cadeia: se
então
. A derivada é
Calculo
: como
,
Também
. Substituindo,
Passo 5
Agora avalio em
.
Primeiro
. Sabendo que
,
Depois
Agora uso a fórmula da linearização:
Passo 6
Interpretação e dica prática:
é a reta que aproxima
perto de
. Por exemplo, para
(ou seja
) a aproximação seria
Isso dá uma noção de como usar a linearização na prova: calcule
e
e aplique
.
Força — tá ficando bom; memorizando a derivada de
e praticando cadeia/implícita, essas questões saem rápido na prova.