Um sistema mecânico com massa m, coeficiente de amortecimento c e constante de mola k é representado pela seguinte equação diferencial:
m y^prime prime(t)+c y^prime(t)+k y(t)=F(t)
onde F(t) é uma força externa aplicada ao sistema. Considere que a força externa é zero, ou seja, F(t)=0.
Determine Y(s) e y(t) para o caso específico em que m=1, c=2 e k=5 e as condições iniciais são y(0)=1 e y^prime(0)=0.
Dica: Utilize o fato que s^2+2 s+5=(s+1)^2+2^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial do sistema com m=1, c=2 e k=5 e sem força externa, ou seja,
y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = 0, com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Para resolver, usaremos transformada de Laplace para obter Y(s) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Sabendo que
Ly''(t) = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'(t) = sY(s)-y(0), temos:
(s^2Y(s)-scdot1-0)+2(sY(s)-1)+5Y(s)=0

Passo 3

Agrupar termos em Y(s) e isolar:
(s^2+2s+5)Y(s)-(s+2)=0
Y(s)=s+2s^2+2s+5

Passo 4

Completar o quadrado no denominador:
s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2, e escrever o numerador como s+2=(s+1)+1. Então
Y(s)=s+1(s+1)^2+4+1(s+1)^2+4

Passo 5

Usar transformadas inversas conhecidas:
L^-1s+1(s+1)^2+2^2=e^-tcos(2t),
L^-12(s+1)^2+2^2=e^-tsin(2t) Como
1(s+1)^2+4=12cdot2(s+1)^2+2^2, obtemos a solução no tempo:
y(t)=e^-tcos(2t)+12e^-tsin(2t)

Resposta

Y(s)=s+2s^2+2s+5, y(t)=e^-tcos(2t)+tfrac12e^-tsin(2t).

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