Um sistema mecânico com massa m, coeficiente de amortecimento c e constante de mola k é representado pela seguinte equação diferencial:
m y^prime prime(t)+c y^prime(t)+k y(t)=F(t)
onde F(t) é uma força externa aplicada ao sistema. Considere que a força externa é zero, ou seja, F(t)=0.
Encontre uma expressão geral para Y(s).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da solução de
um oscilador massa-mola-amortecedor sem força externa.
Conteúdo: equação diferencial linear de 2ª ordem com amortecimento.
Vamos usar a transformada de Laplace e as condições iniciais y(0) e y′(0).

Passo 2

Para transformar a equação
m y″(t) + c y′(t) + k y(t) = 0
lembramos as propriedades:
Ly(t) = sY(s) - y(0)
Ly(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y(0)
Aplicando term a term:

Passo 3

Transformada de cada parcela:
ml(s^2Y(s) - s y(0) - y(0)r) + cl(sY(s) - y(0)r) + kY(s) = 0

Passo 4

Agora agrupamos os termos em Y(s) e isolamos as condições iniciais:
Y(s)l(ms^2 + cs + kr) = m s y(0) + m y(0) + c y(0)

Passo 5

Por fim, dividimos pelo polinômio característico para obter a expressão geral de Y(s):

Resposta

Y(s) = m s,y(0) + c,y(0) + m,y(0)m s^2 + c s + k

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