Em um sistema de monitoramento de um rebocador oceânico, duas variáveis aleatórias discretas são utilizadas para avaliar a condição operacional: X\), o nível de eficiência dos propulsores e \(Y\), a quantidade de leituras instáveis registradas pelos sensores. A distribuição conjunta de \((X, Y)\) é dada por:
\[p_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}k(x+y+1), & x \in\{1,2,3\}, y \in\{0,1,2\}, \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Determine o valor da constate k\] que torna válida a funçāo massa de probabilidade conjunta \(p_{X, Y}.
(b) Calcule a probabilidade que o rebocador opere na máxima eficiência e sern instabilidade.
(c) Considere 200 observações independentes de X. Estime a probabilidade de que a média amostral seja maior que 2,2.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição conjunta de (X,Y)\) por
\[p_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}k(x+y+1), & x\in\{1,2,3\},\; y\in\{0,1,2\},\\[4pt] 0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar o valor da constante k\] que faz com que \(p_{X,Y} seja uma função massa de probabilidade válida (ou seja, some 1 sobre toda a suporte).
(b) Calcular a probabilidade de o rebocador operar na máxima eficiência e não ter instabilidade — interpreto isso como X=3 (máxima eficiência) e Y=0 (sem instabilidade).
(c) Com n=200 observações independentes de X, estimar a probabilidade de que a média amostral seja maior que 2,2.
Explicação didática curta: k é o fator que faz a soma das massas igual a 1; somamos os valores brutos (x+y+1) sobre todo o suporte e dividimos 1 por essa soma.
Passo 5
(b) Queremos P(X=3,Y=0)=p_{X,Y}(3,0). Usamos a fórmula com k=\tfrac{1}{36}:
Interpretação: a probabilidade conjunta de ambos os eventos (eficiência máxima e sem instabilidade) é \tfrac{1}{9}.
Passo 6
(c) Para estimar P(\overline{X}>2,2) com n=200 observações independentes usamos o Teorema Central do Limite (TCL): para n grande a média amostral \overline{X} é aproximadamente normal com média \mu=E[X] e variância \sigma^2_{\overline{X}}=\tfrac{\sigma^2}{n}, onde \sigma^2=\operatorname{Var}(X).
Então precisamos calcular E[X] e \operatorname{Var}(X). Primeiro obtenha a distribuição marginal de X.