Em um sistema de monitoramento de um rebocador oceânico, duas variáveis aleatórias discretas são utilizadas para avaliar a condição operacional: X\), o nível de eficiência dos propulsores e \(Y\), a quantidade de leituras instáveis registradas pelos sensores. A distribuição conjunta de \((X, Y)\) é dada por: \[p_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}k(x+y+1), & x \in\{1,2,3\}, y \in\{0,1,2\}, \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Determine o valor da constate k\] que torna válida a funçāo massa de probabilidade conjunta \(p_{X, Y}.
(b) Calcule a probabilidade que o rebocador opere na máxima eficiência e sern instabilidade.
(c) Considere 200 observações independentes de X. Estime a probabilidade de que a média amostral seja maior que 2,2.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição conjunta de (X,Y)\) por \[p_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}k(x+y+1), & x\in\{1,2,3\},\; y\in\{0,1,2\},\\[4pt] 0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
  1. (a) Determinar o valor da constante k\] que faz com que \(p_{X,Y} seja uma função massa de probabilidade válida (ou seja, some 1 sobre toda a suporte).
  2. (b) Calcular a probabilidade de o rebocador operar na máxima eficiência e não ter instabilidade — interpreto isso como X=3 (máxima eficiência) e Y=0 (sem instabilidade).
  3. (c) Com n=200 observações independentes de X, estimar a probabilidade de que a média amostral seja maior que 2,2.
Informações relevantes dadas:
  • Suporte discreto finito: x\in\{1,2,3\}, y\in\{0,1,2\}.
  • Fórmula da probabilidade conjunta em termos de k.
  • Para (c) assumimos independência entre as observações de X.]

Passo 2

(a) Regra para normalizar uma PMF discreta: a soma de p_{X,Y}(x,y) sobre todo o suporte deve ser 1. Portanto devemos calcular
\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2} p_{X,Y}(x,y) = 1.
Substituindo p_{X,Y}(x,y)=k(x+y+1) obtemos
k\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}(x+y+1)=1.
Agora vamos calcular a soma interior passo a passo.

Passo 3

Calculemos a soma S=\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}(x+y+1).
Separe a soma em três parcelas lineares:
\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}(x+y+1)=\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}x \;+\; \sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}y \;+\; \sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}1.
Agora cada termo:
  • \sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}x = \sum_{x=1}^{3} x\cdot(\text{nº de }y\text{, que é }3) = 3(1+2+3)=3\cdot6=18.ºé
  • \sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}y = \sum_{y=0}^{2} y\cdot(\text{nº de }x\text{, que é }3) = 3(0+1+2)=3\cdot3=9.ºé
  • \sum_{x=1}^{3}\sum_{y=0}^{2}1 = 3\cdot3=9.
Somando:
S = 18 + 9 + 9 = 36.

Passo 4

Com S=36 voltamos à equação de normalização:
k\cdot 36 = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{36}.
Explicação didática curta: k é o fator que faz a soma das massas igual a 1; somamos os valores brutos (x+y+1) sobre todo o suporte e dividimos 1 por essa soma.

Passo 5

(b) Queremos P(X=3,Y=0)=p_{X,Y}(3,0). Usamos a fórmula com k=\tfrac{1}{36}:
p_{X,Y}(3,0)=k(3+0+1)=\frac{1}{36}\cdot 4 = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}.
Interpretação: a probabilidade conjunta de ambos os eventos (eficiência máxima e sem instabilidade) é \tfrac{1}{9}.

Passo 6

(c) Para estimar P(\overline{X}>2,2) com n=200 observações independentes usamos o Teorema Central do Limite (TCL): para n grande a média amostral \overline{X} é aproximadamente normal com média \mu=E[X] e variância \sigma^2_{\overline{X}}=\tfrac{\sigma^2}{n}, onde \sigma^2=\operatorname{Var}(X).
Então precisamos calcular E[X] e \operatorname{Var}(X). Primeiro obtenha a distribuição marginal de X.

Passo 7

Marginal p_X(x)=\sum_{y=0}^{2} p_{X,Y}(x,y)=k\sum_{y=0}^{2}(x+y+1).
Calcule a soma em y:
\sum_{y=0}^{2}(x+y+1)=3x + (0+1+2) + 3 = 3x + 3 + 3 = 3x + 6.
Portanto
p_X(x)=k(3x+6)=3k(x+2).
Com k=\tfrac{1}{36} temos
p_X(x)=\frac{1}{12}(x+2),\qquad x\in\{1,2,3\}.
Vamos listar os valores para ter certeza:
  • p_X(1)=\tfrac{1}{12}(1+2)=\tfrac{3}{12}=\tfrac{1}{4}.
  • p_X(2)=\tfrac{1}{12}(2+2)=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}.
  • p_X(3)=\tfrac{1}{12}(3+2)=\tfrac{5}{12}.

Passo 8

Agora a esperança E[X]:
E[X]=\sum_{x=1}^{3} x\,p_X(x)=1\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{5}{12}.
Calculemos com denominador 12:
E[X]=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}+\frac{15}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}\approx 2,166666\ldots
Em seguida E[X^2]:
E[X^2]=\sum_{x=1}^{3} x^2 p_X(x)=1^2\cdot\frac{1}{4}+2^2\cdot\frac{1}{3}+3^2\cdot\frac{5}{12}.
Com denominador 12:
E[X^2]=\frac{3}{12}+\frac{16}{12}+\frac{45}{12}=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}\approx 5,3333\ldots
Logo a variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\big(E[X]\big)^2=\frac{16}{3}-\left(\frac{13}{6}\right)^2=\frac{192}{36}-\frac{169}{36}=\frac{23}{36}\approx 0,638888\ldots
O desvio padrão de X é
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{\frac{23}{36}}=\frac{\sqrt{23}}{6}\approx 0,799305.

Passo 9

Para a média amostral com n=200 temos
\mu_{\overline{X}}=E[X]=\frac{13}{6},\qquad \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{23}}{6\sqrt{200}}.
Padronizamos para usar a normal padrão:
P\big(\overline{X}>2,2\big)=P\!\left(\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}>\frac{2,2-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}\right).
Calcule o numerador da padronização:
2,2-\mu_{\overline{X}}=2,2-\frac{13}{6}=2,2-2,\overline{1}6\;=\;0,033333\ldots =\frac{1}{30}.
Calcule o desvio padrão da média numericamente:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sqrt{23}}{6\sqrt{200}}\approx 0,056547.
Assim o valor z é
z=\frac{2,2-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}\approx\frac{0,0333333}{0,056547}\approx 0,5895.
Pelo TCL, \dfrac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}} é aproximadamente padrão normal N(0,1). Então
P(\overline{X}>2,2)\approx 1-\Phi(0,5895),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Usando tabela ou calculadora de normal,
\Phi(0,5895)\approx 0,7223. Logo
P(\overline{X}>2,2)\approx 1-0,7223=0,2777\\ (\text{aproximadamente }0,278).

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{36}.
(b) P(X=3,Y=0)=\dfrac{1}{9}.
(c) P(\overline{X}>2,2)\approx 0,2777 (aproximadamente 0,278).

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