Um posto de gasolina unte atende 250 clientes por dia, em média. Durante uma campanha em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes por dia foi 270 . Em ambos os casos o desvio padrão amostral foi de 60. Assuma que o número de clientes por dia se comporta segundo uma distribuição Normal, em ambos os cenários.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de
.
(b) Faça um teste de hipóteses para verificar se a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de
(b) Faça um teste de hipóteses para verificar se a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) formular o problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de
para verificar se a campanha modificou (para mais ou para menos) a média de clientes por dia; (b) executar esse teste e decidir.
Dados fornecidos (extraí parte deles da imagem enviada, que indica o tamanho da amostra):
Dados fornecidos (extraí parte deles da imagem enviada, que indica o tamanho da amostra):
- média histórica (hipótese nula)
clientes/dia; - média observada durante a campanha
clientes/dia; - desvio padrão amostral
clientes/dia; - tamanho da amostra durante a campanha
(peguei este valor da imagem); - nível de significância
.
Passo 2
Qual teste usar e por quê?
- Queremos testar a média
de uma população normal. - A variância populacional desconhecida (só temos
), então o teste clássico é o teste t de Student para uma amostra. - Como
é relativamente grande, o t com graus de liberdade aproxima-se bem do z, mas usaremos a fórmula do t (o procedimento é o mesmo e é válido mesmo para amostras menores, desde que a suposição de normalidade seja razoável).
Passo 3
Formule as hipóteses (pedido do item (a)):
Isto é um teste bilateral (queremos saber se a campanha mudou a média para mais ou para menos).
Passo 4
Apresente a estatística de teste e explique as variáveis:
A estatística t é
A estatística t é
Onde:
-
é a média amostral observada (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (uma medida de quanto a média amostral varia em torno da verdadeira média).
Passo 5
Calcule o erro padrão da média:
Expliquei passo a passo: primeiro
, depois
.
Passo 6
Calcule a estatística t:
Passo 7
Determine a região crítica (decisão) para
em teste bilateral:
- graus de liberdade
; - o valor crítico para
(t quantil 97,5%) vale aproximadamente (tabela de t ou software).
Decisão: rejeitamosse .
Passo 8
Compare e calcule o p-valor:
-
, portanto estamos na região crítica e rejeitamos . - Para dar uma ideia do p-valor: usando a aproximação normal (ou a t com 99 df) temos uma cauda unilateral aproximadamente
, então o p-valor bilateral é aproximadamente . Podemos arredondar e escrever (muito menor que ).
Passo 9
Interpretação final (resposta ao item (b)):
- Como
e , rejeitamos ao nível de . - Conclusão: há evidência estatística de que a campanha modificou a média diária de clientes. Como
, a evidência indica que a campanha aumentou o número médio de clientes por dia.
Resposta
(a)
(b)
Rejeita-se
; conclusão: a campanha aumentou a média diária de clientes.