Um posto de gasolina unte atende 250 clientes por dia, em média. Durante uma campanha em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes por dia foi 270 . Em ambos os casos o desvio padrão amostral foi de 60. Assuma que o número de clientes por dia se comporta segundo uma distribuição Normal, em ambos os cenários.
(a) Há razões para suspeitar que a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto? Responda essa pergunta formulando problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de 5 \%.
(b) Faça um teste de hipóteses para verificar se a campanha modificou, para mais ou para menos, o número médio de clientes do posto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) formular o problema como um teste de hipóteses ao nível de significância de 5\% para verificar se a campanha modificou (para mais ou para menos) a média de clientes por dia; (b) executar esse teste e decidir.
Dados fornecidos (extraí parte deles da imagem enviada, que indica o tamanho da amostra):
  • média histórica (hipótese nula) \mu_0 = 250 clientes/dia;
  • média observada durante a campanha \bar{x} = 270 clientes/dia;
  • desvio padrão amostral s = 60 clientes/dia;
  • tamanho da amostra durante a campanha n = 100 (peguei este valor da imagem);
  • nível de significância \alpha = 0,05.

Passo 2

Qual teste usar e por quê?
  • Queremos testar a média \mu de uma população normal.
  • A variância populacional desconhecida (só temos s), então o teste clássico é o teste t de Student para uma amostra.
  • Como n=100 é relativamente grande, o t com n-1 graus de liberdade aproxima-se bem do z, mas usaremos a fórmula do t (o procedimento é o mesmo e é válido mesmo para amostras menores, desde que a suposição de normalidade seja razoável).

Passo 3

Formule as hipóteses (pedido do item (a)):
H_0:\\ \mu = 250
H_1:\\ \mu \neq 250
Isto é um teste bilateral (queremos saber se a campanha mudou a média para mais ou para menos).

Passo 4

Apresente a estatística de teste e explique as variáveis:
A estatística t é
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Onde:
  • \bar{x} é a média amostral observada (aqui 270);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 250);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui 60);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 100);
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (uma medida de quanto a média amostral varia em torno da verdadeira média).

Passo 5

Calcule o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{60}{\sqrt{100}} = \frac{60}{10} = 6.ã
Expliquei passo a passo: primeiro \sqrt{100}=10, depois 60/10=6.

Passo 6

Calcule a estatística t:
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{270-250}{6} = \frac{20}{6} \approx 3{,}333\ldots

Passo 7

Determine a região crítica (decisão) para \alpha=0{,}05 em teste bilateral:
  • graus de liberdade \text{df} = n-1 = 99;
  • o valor crítico para t_{0{,}025,\,99} (t quantil 97,5%) vale aproximadamente 1{,}984 (tabela de t ou software).
    Decisão: rejeitamos H_0 se |t| > 1{,}984.

Passo 8

Compare e calcule o p-valor:
  • |t| \approx 3{,}333 > 1{,}984, portanto estamos na região crítica e rejeitamos H_0.
  • Para dar uma ideia do p-valor: usando a aproximação normal (ou a t com 99 df) temos uma cauda unilateral aproximadamente 0{,}00043, então o p-valor bilateral é aproximadamente 2\times 0{,}00043 \approx 0{,}00086. Podemos arredondar e escrever p \approx 0{,}0009 (muito menor que 0{,}05).

Passo 9

Interpretação final (resposta ao item (b)):
  • Como p\ll 0{,}05 e |t|>t_{0{,}025,99}, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
  • Conclusão: há evidência estatística de que a campanha modificou a média diária de clientes. Como \bar{x}=270>250, a evidência indica que a campanha aumentou o número médio de clientes por dia.

Resposta

(a) H_0:\\ \mu=250,\quad H_1:\\ \mu\neq 250\text{ (teste bilateral) ao nível } \alpha=0{,}05.í
(b) t=\frac{270-250}{60/\sqrt{100}}\approx 3{,}333,\\ \text{df}=99,\\ p\approx 0{,}0009.
Rejeita-se H_0; conclusão: a campanha aumentou a média diária de clientes.

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