No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica. Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 l/s. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido ( \mathrm{hp}=12 \mathrm{~m} ). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15 m . O diâmetro da tubulação é igual a 50 mm .
Resposta: \mathrm{p}_{\mathrm{A}} (rel.) =283,55 \mathrm{kPa} ; \mathrm{p}_{\mathrm{A}}(\mathrm{abs})=384,.87 \mathrm{kPa}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, no ponto A, a pressão relativa (gauge) e a pressão absoluta necessárias para que a água escoe com vazão \,12\\ \mathrm{L/s}. Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
Q = 12\\ \mathrm{L/s} = 0{,}012\\ \mathrm{m^3/s}
\text{Perda de carga total do sistema: } h_p = 12\\ \mathrm{m}
\text{Diferença de altura entre o nível do reservatório (A) e a saída (B): } z_B - z_A = 15\\ \mathrm{m}çíóí
\text{Diâmetro da tubulação: } D = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}âçã
\text{No ponto }B\text{ a pressão é a pressão atmosférica } p_B = p_{atm} = 101\,325\\ \mathrm{Pa}ãéãé
Valores físicos que vou usar (água a temperatura ambiente padrão):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}
Observação: o escoamento é permanente e vou considerar que a superfície livre do reservatório em A tem velocidade desprezível ( v_A\approx 0).

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vou usar) — Bernoulli com perdas entre a superfície do reservatório em A e a saída B.
A equação de Bernoulli (forma com perda de carga) entre os pontos A e B é:
\frac{p_A}{\rho g} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{p_B}{\rho g} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} + h_p
onde
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • g é a gravidade (m/s^2),
  • z é a cota (m),
  • v é a velocidade média do fluido (m/s),
  • h_p é a perda de carga total expressa em metros de coluna de fluido (m).
Como a superfície do reservatório é grande, tomo v_A\approx 0. No ponto B a pressão é atmosférica p_B=p_{atm}. Vou isolar p_A na equação para obter a pressão requerida em A.

Passo 3

Calcular a área da seção e a velocidade na tubulação (ponto B).
Área da tubulação:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}00125 = 0{,}0019634954\\ \mathrm{m^2}
Velocidade média no trecho (ponto B):
v_B = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}012}{0{,}0019634954} \approx 6{,}1159\\ \mathrm{m/s}
(Explanação curta: a área de um círculo é \pi D^2/4. A vazão volumétrica Q é igual a A\cdot v, então v=Q/A.)

Passo 4

Calcular a cabeça dinâmica (energia cinética) associada à velocidade:
\frac{v_B^2}{2g} = \frac{(6{,}1159)^2}{2\cdot 9{,}80665} \approx 1{,}9082\\ \mathrm{m}
(Explicação: v^2/(2g) é a conversão da energia cinética por massa para unidades de altura de fluido — é comum trabalhar em cabeças em metros.)

Passo 5

Aplicar a equação de Bernoulli e isolar p_A. Reescrevendo a equação com v_A\approx 0:
\frac{p_A}{\rho g} = \frac{p_B}{\rho g} + (z_B - z_A) + \frac{v_B^2}{2g} + h_p
Multiplicando por \rho g:
p_A = p_B + \rho g\left[(z_B - z_A) + \frac{v_B^2}{2g} + h_p\right]
Agora substituo os valores ( p_B=p_{atm}, z_B-z_A=15\\ \mathrm{m}, \frac{v_B^2}{2g}\approx 1{,}9082\\ \mathrm{m}, h_p=12\\ \mathrm{m}, \rho g = 1000\cdot 9{,}80665\\ \mathrm{Pa/m}=9\,806{,}65\\ \mathrm{Pa/m}):
p_A = 101\,325\\ \mathrm{Pa} + 1000\cdot 9{,}80665 \cdot \bigl(15 + 1{,}9082 + 12\bigr)\\ \mathrm{Pa}
Calculo interno do parêntesis:
15 + 1{,}9082 + 12 = 28{,}9082\\ \mathrm{m}
Portanto:
p_A = 101\,325\\ \mathrm{Pa} + 9\,806{,}65\cdot 28{,}9082\\ \mathrm{Pa}
p_A \approx 101\,325\\ \mathrm{Pa} + 283\,546\\ \mathrm{Pa} = 384\,871\\ \mathrm{Pa}

Passo 6

Determinar a pressão relativa (gauge) em A e a pressão absoluta.
A pressão relativa (pressão acima da atmosférica) é:
p_{A,\text{rel}} = p_A - p_{atm} = 283\,546\\ \mathrm{Pa} \approx 283{,}55\\ \mathrm{kPa}
A pressão absoluta em A é simplesmente p_A:
p_{A,\text{abs}} = p_A \approx 384\,871\\ \mathrm{Pa} \approx 384{,}87\\ \mathrm{kPa}
(Conversão: 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}. Arredondei os resultados para duas casas decimais em kPa.)

Passo 7

Resumo físico curto e checagem: o valor positivo da pressão relativa significa que a superfície do reservatório precisa estar pressurizada em relação à atmosfera para vencer a elevação de 15\\ \mathrm{m}, as perdas 12\\ \mathrm{m} e fornecer a energia cinética necessária. Valores numéricos batem com o enunciado.

Resposta

p_{A,\text{rel}} = 283{,}55\\ \mathrm{kPa}
p_{A,\text{abs}} = 384{,}87\\ \mathrm{kPa}

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