Para um sistema de
partículas sujeitas a um campo gravitacional uniforme
agindo verticalmente para baixo, mostre que a energia potencial gravitacional total é equivalente ao caso em que todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema, isto é,
em que
é a massa do sistema e
é a coordenada do centro de massa.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um sistema com $ N $ partículas que estão sob a influência de um campo gravitacional uniforme, representado por $ \vec{g} $, que aponta verticalmente para baixo. O objetivo é mostrar que a energia potencial gravitacional total desse sistema é a mesma que se todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre energia potencial gravitacional e o conceito de centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional ($ U_i $) de uma única partícula. A fórmula básica é:
Aqui, $ m_i $ é a massa da partícula, $ g $ é a aceleração devido à gravidade, e $ y_i $ é a coordenada vertical da partícula.
Passo 3
Agora, para encontrar a energia potencial gravitacional total ($ U $) do sistema, a gente soma a energia de todas as partículas:
Passo 4
Vamos simplificar essa soma. Note que $ g $ é constante para todas as partículas, então podemos tirar ele da soma:
Passo 5
Agora, lembrando do conceito de centro de massa ($ Y $), sabemos que:
onde $ M = \sum_{i=1}^{N} m_i $ é a massa total do sistema. Vamos multiplicar ambos os lados por $ M $:
Passo 6
Substituindo essa expressão na fórmula da energia total $ U $, temos:
Resposta
A energia potencial gravitacional total do sistema é $ U = M g Y $.