Para um sistema de N partículas sujeitas a um campo gravitacional uniforme g agindo verticalmente para baixo, mostre que a energia potencial gravitacional total é equivalente ao caso em que todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema, isto é,
U=sumi=1^N Ui=M g Y
em que M é a massa do sistema e Y é a coordenada do centro de massa.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um sistema com $ N $ partículas que estão sob a influência de um campo gravitacional uniforme, representado por $ \vec{g} $, que aponta verticalmente para baixo. O objetivo é mostrar que a energia potencial gravitacional total desse sistema é a mesma que se todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre energia potencial gravitacional e o conceito de centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional ($ U_i $) de uma única partícula. A fórmula básica é:
Ui
Aqui, $ m_i $ é a massa da partícula, $ g $ é a aceleração devido à gravidade, e $ y_i $ é a coordenada vertical da partícula.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial gravitacional total ($ U $) do sistema, a gente soma a energia de todas as partículas:
U

Passo 4

Vamos simplificar essa soma. Note que $ g $ é constante para todas as partículas, então podemos tirar ele da soma:
g

Passo 5

Agora, lembrando do conceito de centro de massa ($ Y $), sabemos que:
Y
onde $ M = \sum_{i=1}^{N} m_i $ é a massa total do sistema. Vamos multiplicar ambos os lados por $ M $:
Y = sumi=1^N mi cdot yiM

Passo 6

Substituindo essa expressão na fórmula da energia total $ U $, temos:
U

Resposta

A energia potencial gravitacional total do sistema é $ U = M g Y $.

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