Um sistema de primeira ordem possui:
Determine:
a) A resposta temporal;
b) O tempo de subida;
c) O tempo de estabilização;
d) O comportamento da resposta caso
fosse aumentado para $2 s.
a) A resposta temporal;
b) O tempo de subida;
c) O tempo de estabilização;
d) O comportamento da resposta caso
Passo 1
O enunciado fornece os parâmetros de um sistema de primeira ordem:
O que é pedido:
a) a resposta temporal do sistema (assumindo um degrau unitário de entrada, pois o enunciado não especifica outra amplitude);
b) o tempo de subida;
c) o tempo de estabilização;
d) descrever o que acontece com a resposta se aumentar para
.
a) a resposta temporal do sistema (assumindo um degrau unitário de entrada, pois o enunciado não especifica outra amplitude);
b) o tempo de subida;
c) o tempo de estabilização;
d) descrever o que acontece com a resposta se
Observação/pressuposto (não peço nada a mais): vou considerar entrada degrau unitário
para obter a resposta ao degrau padrão. Se a entrada tiver amplitude
, basta multiplicar a resposta por
.
Passo 2
Modelo padrão de um sistema de primeira ordem e significado dos parâmetros.
Um sistema de primeira ordem com ganho estático
Explicação curtinha e intuitiva:
-
é o ganho em regime permanente (o valor final da saída para um degrau unitário será ). -
é a constante de tempo: caracteriza a rapidez da resposta; respostas maiores de tornam o sistema mais lento.
Para obter a resposta ao degrau unitário, usamos
e calculamos
:
Agora fazemos frações parciais para inverter a transformada de Laplace. Escrevemos
Multiplicando por
obtemos
Comparando termos constantes e termos em
:
Portanto
Recordando que
, calculamos a saída no tempo:
Interpretação rápida: a saída parte de
e converge exponencialmente para
com constante de tempo
.]
Passo 3
Escrevendo a resposta temporal com os valores numéricos
e
.
Substituindo em
:
Observações:
-
. -
. - A dependência temporal é exponencial decrescente com taxa
(porque ).
Passo 4
Tempo de subida: definição e cálculo.
Definição usual prática: tempo de subida
é o tempo que a resposta leva para ir de
a
do valor final. (Outra definição existe — 0%–100% — mas para sistemas de primeira ordem é infinito, por isso evitamos essa definição.)
Para um nível relativo
(por exemplo
ou
), resolvemos
Assim,
O tempo de subida é
Para
:
Passo 5
Tempo de estabilização (settling time): definição e cálculo.
Definição prática: tempo para a saída permanecer dentro de uma banda
do valor final. As convenções mais usadas são
e
.
Queremos
. Como
, isso significa
Tomando logaritmo:
Assim:
- Para
(5%): - Para
(2%):
Com
:
Normalmente, em controles, usa-se a especificação de
como referência prática, logo
para este caso.
Passo 6
Comportamento se
aumentasse para
.
Primeiro, a resposta temporal com
e
(ainda para degrau unitário) seria
Pontos importantes:
- O valor final permanece
porque não mudou. - A resposta fica mais lenta porque a constante de tempo aumentou.
Cálculos dos tempos escalados (proporcional a
):
Resumo qualitativo: aumentar
alonga as escalas de tempo (rise time e settling time aumentam aproximadamente proporcionalmente a
), mas o nível final não muda.
Resposta
(a)
(b) Tempo de subida (10%–90%):
(c) Tempo de estabilização:
(d) Para :
. O regime permanente continua
, mas a resposta é muito mais lenta;
,
,
.
(b) Tempo de subida (10%–90%):
(c) Tempo de estabilização:
(d) Para