Um sistema de primeira ordem possui:
\begin{aligned} & K=8 \\\ & \tau=0.5 s \end{aligned}
Determine:
a) A resposta temporal;
b) O tempo de subida;
c) O tempo de estabilização;
d) O comportamento da resposta caso \tau fosse aumentado para $2 s.

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros de um sistema de primeira ordem:
K=8,\qquad \tau=0{,}5\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
a) a resposta temporal do sistema (assumindo um degrau unitário de entrada, pois o enunciado não especifica outra amplitude);
b) o tempo de subida;
c) o tempo de estabilização;
d) descrever o que acontece com a resposta se \tau aumentar para 2\\ \mathrm{s}.
Observação/pressuposto (não peço nada a mais): vou considerar entrada degrau unitário r(t)=1 para obter a resposta ao degrau padrão. Se a entrada tiver amplitude A, basta multiplicar a resposta por A.

Passo 2

Modelo padrão de um sistema de primeira ordem e significado dos parâmetros.
Um sistema de primeira ordem com ganho estático K\) e constante de tempo \(\tau\) tem função de transferência: \[G(s)=\frac{K}{\tau s+1}.
Explicação curtinha e intuitiva:
  • K é o ganho em regime permanente (o valor final da saída para um degrau unitário será K).
  • \tau é a constante de tempo: caracteriza a rapidez da resposta; respostas maiores de \tau tornam o sistema mais lento.
Para obter a resposta ao degrau unitário, usamos R(s)=\dfrac{1}{s} e calculamos Y(s)=G(s)R(s):
Y(s)=\frac{K}{s(\tau s+1)}.
Agora fazemos frações parciais para inverter a transformada de Laplace. Escrevemos
\frac{K}{s(\tau s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{\tau s+1}.
Multiplicando por s(\tau s+1) obtemos
K=A(\tau s+1)+Bs.
Comparando termos constantes e termos em s:
\begin{cases} \text{constante: } & A=K,\\[4pt] \text{coeficiente de } s: & A\tau + B = 0 \;\Rightarrow\; B = -A\tau = -K\tau. \end{cases}
Portanto
Y(s)=\frac{K}{s}-\frac{K\tau}{\tau s+1}.
Recordando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1\] e \(\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{\tau s+1}\}=\tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}, calculamos a saída no tempo:
y(t)=K - K\tau\cdot\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}=K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),\quad t\ge0.
Interpretação rápida: a saída parte de y(0)=0 e converge exponencialmente para y(\infty)=K com constante de tempo \tau.]

Passo 3

Escrevendo a resposta temporal com os valores numéricos K=8 e \tau=0{,}5\\ \mathrm{s}.
Substituindo em \;y(t)=K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\; :
y(t)=8\bigl(1-e^{-t/0{,}5}\bigr)=8\bigl(1-e^{-2t}\bigr),\qquad t\ge0.
Observações:
  • y(0)=8(1-1)=0.
  • y(\infty)=8.
  • A dependência temporal é exponencial decrescente com taxa 2\\ \mathrm{s}^{-1} (porque 1/\tau=2).

Passo 4

Tempo de subida: definição e cálculo.
Definição usual prática: tempo de subida t_r é o tempo que a resposta leva para ir de 10\% a 90\% do valor final. (Outra definição existe — 0%–100% — mas para sistemas de primeira ordem é infinito, por isso evitamos essa definição.)
Para um nível relativo p (por exemplo p=0{,}1 ou p=0{,}9), resolvemos
y(t)=K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)=pK \quad\Rightarrow\quad 1-e^{-t/\tau}=p
\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=1-p \quad\Rightarrow\quad t=-\tau\ln(1-p).
Assim,
t_{10\%}=-\tau\ln(1-0{,}1)=-\tau\ln(0{,}9), \qquad t_{90\%}=-\tau\ln(1-0{,}9)=-\tau\ln(0{,}1).
O tempo de subida é
t_r=t_{90\%}-t_{10\%}=\tau\ln\!\left(\frac{0{,}9}{0{,}1}\right)=\tau\ln(9)\approx2{,}1972\,\tau.
Para \tau=0{,}5\\ \mathrm{s}:
t_r\approx2{,}1972\times0{,}5=1{,}0986\\ \mathrm{s}\approx1{,}10\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Tempo de estabilização (settling time): definição e cálculo.
Definição prática: tempo para a saída permanecer dentro de uma banda \pm\varepsilon do valor final. As convenções mais usadas são \varepsilon=5\% e \varepsilon=2\%.
Queremos |y(t)-K|\le \varepsilon K. Como y(t)-K=-K e^{-t/\tau}, isso significa
|K e^{-t/\tau}|\le \varepsilon K \quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}\le\varepsilon.
Tomando logaritmo:
t\ge \tau\ln\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right).
Assim:
  • Para \varepsilon=0{,}05 (5%): \;t_s(5\%)=\tau\ln(20)\approx2{,}9957\,\tau\approx3\tau.
  • Para \varepsilon=0{,}02 (2%): \;t_s(2\%)=\tau\ln(50)\approx3{,}9120\,\tau\approx4\tau.
Com \tau=0{,}5\\ \mathrm{s}:
t_s(5\%)\approx0{,}5\times2{,}9957=1{,}498\\ \mathrm{s}\approx1{,}50\\ \mathrm{s},
t_s(2\%)\approx0{,}5\times3{,}9120=1{,}956\\ \mathrm{s}\approx1{,}96\\ \mathrm{s}.
Normalmente, em controles, usa-se a especificação de 2\% como referência prática, logo t_s\approx1{,}96\\ \mathrm{s} para este caso.

Passo 6

Comportamento se \tau aumentasse para 2\\ \mathrm{s}.
Primeiro, a resposta temporal com K=8 e \tau=2\\ \mathrm{s} (ainda para degrau unitário) seria
y_{\text{novo}}(t)=8\bigl(1-e^{-t/2}\bigr).
Pontos importantes:
  • O valor final permanece y(\infty)=8 porque K não mudou.
  • A resposta fica mais lenta porque a constante de tempo aumentou.
Cálculos dos tempos escalados (proporcional a \tau):
t_r\approx2{,}1972\,\tau\Rightarrow t_r\approx2{,}1972\times2=4{,}3944\\ \mathrm{s}\approx4{,}39\\ \mathrm{s}.
t_s(5\%)\approx2{,}9957\,\tau\Rightarrow t_s(5\%)\approx2{,}9957\times2=5{,}9914\\ \mathrm{s}\approx5{,}99\\ \mathrm{s}.
t_s(2\%)\approx3{,}9120\,\tau\Rightarrow t_s(2\%)\approx3{,}9120\times2=7{,}8240\\ \mathrm{s}\approx7{,}82\\ \mathrm{s}.
Resumo qualitativo: aumentar \tau alonga as escalas de tempo (rise time e settling time aumentam aproximadamente proporcionalmente a \tau), mas o nível final não muda.

Resposta

(a) y(t)=8\bigl(1-e^{-2t}\bigr),\\ t\ge0.
(b) Tempo de subida (10%–90%): t_r\approx1{,}10\\ \mathrm{s}.
(c) Tempo de estabilização: t_s(5\%)\approx1{,}50\\ \mathrm{s};\quad t_s(2\%)\approx1{,}96\\ \mathrm{s}.
(d) Para \tau=2\\ \mathrm{s}: y(t)=8\bigl(1-e^{-t/2}\bigr). O regime permanente continua 8, mas a resposta é muito mais lenta; t_r\approx4{,}39\\ \mathrm{s}, t_s(5\%)\approx5{,}99\\ \mathrm{s}, t_s(2\%)\approx7{,}82\\ \mathrm{s}.

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