O sistema de numeração romano ainda é utilizado na indicação de capítulos e volumes de livros, na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras do alfabeto:
Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 100) e M (vale 1000 ).
Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50) e D (vale 500).
As regras para escrever números romanos são:
  1. Não existe símbolo correspondente ao zero;
  2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes e seus valores são adicionados. Exemplo: \mathrm{XXX}=30;
  3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior valor indica subtração dos respectivos valores. Exemplo: IX = 10-1=9;
  4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor indica adição dos respectivos valores. Exemplo: XI =10 +1=11.
Em uma cidade europeia há uma placa indicando o ano de sua fundação: MCDLXIX.
Quantos anos de fundação essa cidade comemorará em 2050?
a) 379
b) 381
c) 579
d) 581

Passo 1

O enunciado nos dá uma placa com um ano escrito em algarismos romanos: \mathrm{MCDLXIX}. Pergunta-se quantos anos de fundação a cidade comemorará no ano \(2050). Também são fornecidas (no enunciado) as letras romanas e seus valores:
  • Fundamentais: \mathrm{I}=1, \mathrm{X}=10, \mathrm{C}=100, \mathrm{M}=1000.
  • Secundárias: \mathrm{V}=5, \mathrm{L}=50, \mathrm{D}=500.
As alternativas da questão são:
a) \,379
b) \,381
c) \,579
d) \,581

Passo 2

Como transformar um numeral romano em número arábico (a técnica que usaremos): percorre-se o numeral da esquerda para a direita avaliando cada símbolo. Para cada símbolo com valor v_i, observa-se o próximo símbolo com valor v_{i+1}. Se v_i < v_{i+1}, então o símbolo atual representa uma subtração (ou seja, somamos -v_i). Se v_i \ge v_{i+1} ou não existe próximo símbolo, então somamos +v_i. No final, a soma dá o número arábico. Exemplo simples: para \mathrm{IX} temos valores 1 e 10; como 1<10 soma-se -1+10=9.

Passo 3

Vamos decompor o numeral \mathrm{MCDLXIX} em símbolos individuais e seus valores:
\mathrm{M}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{L}, \mathrm{X}, \mathrm{I}, \mathrm{X}.
Agora os valores correspondentes são:
\mathrm{M}=1000, \mathrm{C}=100, \mathrm{D}=500, \mathrm{L}=50, \mathrm{X}=10, \mathrm{I}=1, \mathrm{X}=10.
Portanto a sequência de valores é:
1000,\;100,\;500,\;50,\;10,\;1,\;10.

Passo 4

Aplicando a regra de soma/subtração símbolo a símbolo:
  • Para \mathrm{M}=1000 o próximo é \mathrm{C}=100. Como 1000\ge100, somamos +1000.
  • Para \mathrm{C}=100 o próximo é \mathrm{D}=500. Como 100<500, somamos -100.
  • Para \mathrm{D}=500 o próximo é \mathrm{L}=50. Como 500\ge50, somamos +500.
  • Para \mathrm{L}=50 o próximo é \mathrm{X}=10. Como 50\ge10, somamos +50.
  • Para \mathrm{X}=10 o próximo é \mathrm{I}=1. Como 10\ge1, somamos +10.
  • Para \mathrm{I}=1 o próximo é \mathrm{X}=10. Como 1<10, somamos -1.
  • Para a última \mathrm{X}=10 não há próximo, então somamos +10.
Agora somamos todos os termos (na ordem):
+1000 -100 +500 +50 +10 -1 +10.

Passo 5

Calculemos a soma passo a passo:
1000 -100 =900,
900 +500 =1400,
1400 +50 =1450,
1450 +10 =1460,
1460 -1 =1459,
1459 +10 =1469.
Conclui-se que \mathrm{MCDLXIX}=1469. Ou seja, o ano de fundação indicado na placa é \,1469.

Passo 6

Para saber a idade que a cidade comemorará em \,2050, subtrai-se o ano de fundação do ano de comemoração:
\text{idade em }2050 = 2050 - 1469.
Façamos a conta:
2050 - 1469 = 581.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, o resultado corresponde à alternativa d).

Resposta

d) 581

Exercícios relacionados