Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de
. Determine:
A energia cinética do sistema quando o bloco está a 6.0 cm da posição de equilíbrio.
A energia cinética do sistema quando o bloco está a 6.0 cm da posição de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola que oscila e precisa encontrar a energia cinética quando o bloco está a 6,0 cm da posição de equilíbrio. Vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento harmônico simples. Precisamos saber que a energia mecânica total é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial (PE).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ em um sistema massa-mola sem atrito é constante e dada por:
Aqui, a energia total $ E $ é 1,50 J.
Passo 3
A energia potencial elástica no sistema massa-mola é dada por:
onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é a distância do bloco em relação à posição de equilíbrio.
Passo 4
A amplitude do movimento é 12,0 cm, ou seja, $ A = 0,12 $ m. A velocidade máxima $ v_{max} $ está relacionada à energia mecânica total pela fórmula:
Podemos usar isso para encontrar a massa $ m $ do bloco.
Passo 5
Rearranjando a fórmula para $ m $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a constante da mola $ k $ usando a relação entre a energia mecânica total e a amplitude:
Rearranjando para $ k $:
Passo 7
Queremos a energia cinética quando $ x = 6,0 $ cm, ou seja, $ x = 0,06 $ m. Usando $ E = KE + PE $, temos:
Passo 8
Substituindo os valores:
Calculando o termo da energia potencial:
Passo 9
Agora, subtraímos a energia potencial da energia total:
Resposta
A energia cinética do sistema quando o bloco está a 6,0 cm da posição de equilíbrio é de 1,125 J.