Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de 1.50 m / s. Determine:
A energia cinética do sistema quando o bloco está a 6.0 cm da posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola que oscila e precisa encontrar a energia cinética quando o bloco está a 6,0 cm da posição de equilíbrio. Vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento harmônico simples. Precisamos saber que a energia mecânica total é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial (PE).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ em um sistema massa-mola sem atrito é constante e dada por:
E
Aqui, a energia total $ E $ é 1,50 J.

Passo 3

A energia potencial elástica no sistema massa-mola é dada por:
PE = 12k x^2
onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é a distância do bloco em relação à posição de equilíbrio.

Passo 4

A amplitude do movimento é 12,0 cm, ou seja, $ A = 0,12 $ m. A velocidade máxima $ v_{max} $ está relacionada à energia mecânica total pela fórmula:
A = 0,12
Podemos usar isso para encontrar a massa $ m $ do bloco.

Passo 5

Rearranjando a fórmula para $ m $:
m

Passo 6

Agora, vamos encontrar a constante da mola $ k $ usando a relação entre a energia mecânica total e a amplitude:
k
Rearranjando para $ k $:
E = 12k A^2

Passo 7

Queremos a energia cinética quando $ x = 6,0 $ cm, ou seja, $ x = 0,06 $ m. Usando $ E = KE + PE $, temos:
x = 6,0

Passo 8

Substituindo os valores:
KE = 1,50 - 12 times 208,33 times (0,06)^2
Calculando o termo da energia potencial:
PE = 12 times 208,33 times 0,0036 = 0,375 , J

Passo 9

Agora, subtraímos a energia potencial da energia total:
KE = 1,50 - 0,375 = 1,125 , J

Resposta

A energia cinética do sistema quando o bloco está a 6,0 cm da posição de equilíbrio é de 1,125 J.

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