Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de 1.50 m / s. Determine:
Qual seria a nova frequência do sistema se a massa do bloco fosse dobrada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema bloco-mola que está oscilando com energia mecânica total de 1,50 J, amplitude de 12,0 cm e velocidade máxima de 1,50 m/s. A pergunta é: qual seria a nova frequência do sistema se a massa do bloco fosse dobrada? Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações harmônicas, como energia, frequência e a relação entre massa e frequência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre a energia mecânica total (E), a amplitude (A) e a constante da mola (k). A fórmula para a energia mecânica em um sistema bloco-mola é:
E = 12 k A^2
Aqui, $ E $ é a energia mecânica total, $ k $ é a constante da mola e $ A $ é a amplitude das oscilações.

Passo 3

Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a constante da mola $ k $:
k
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. A amplitude está em centímetros, então vamos converter para metros:
k = 2EA^2
Agora, substituímos os valores na fórmula:
A = 12,0 , cm = 0,12 , m

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a frequência inicial do sistema. A velocidade máxima ($ v_{max} vmax áàê f $) e à amplitude pela fórmula:
f
Onde $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à frequência por:
vmax = A omega
Portanto:
omega
Vamos rearranjar para encontrar $ f $:
omega = 2pi f
Substituindo os valores:
vmax = A times 2pi f

Passo 5

Agora, queremos saber qual será a nova frequência se a massa do bloco for dobrada. A frequência de um sistema bloco-mola é dada por:
f = 12pi raizkm
Se a massa $ m $ for dobrada para $ 2m $, a nova frequência $ f’ $ será:
m
Isso significa que a nova frequência é a frequência original dividida pela raiz quadrada de 2.

Passo 6

Vamos calcular a nova frequência:
f' = 1,99 , Hzraiz2 approx 1,991,414 approx 1,41 , Hz

Resposta

A nova frequência do sistema, com a massa dobrada, é aproximadamente 1,41 Hz.

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