Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de
. Determine:
Qual seria a nova frequência do sistema se a massa do bloco fosse dobrada?
Qual seria a nova frequência do sistema se a massa do bloco fosse dobrada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema bloco-mola que está oscilando com energia mecânica total de 1,50 J, amplitude de 12,0 cm e velocidade máxima de 1,50 m/s. A pergunta é: qual seria a nova frequência do sistema se a massa do bloco fosse dobrada? Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações harmônicas, como energia, frequência e a relação entre massa e frequência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre a energia mecânica total (E), a amplitude (A) e a constante da mola (k). A fórmula para a energia mecânica em um sistema bloco-mola é:
Aqui, $ E $ é a energia mecânica total, $ k $ é a constante da mola e $ A $ é a amplitude das oscilações.
Passo 3
Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a constante da mola $ k $:
Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. A amplitude está em centímetros, então vamos converter para metros:
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a frequência inicial do sistema. A velocidade máxima ($ v_{max}
f $) e à amplitude pela fórmula:
Onde $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à frequência por:
Portanto:
Vamos rearranjar para encontrar $ f $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos saber qual será a nova frequência se a massa do bloco for dobrada. A frequência de um sistema bloco-mola é dada por:
Se a massa $ m $ for dobrada para $ 2m $, a nova frequência $ f’ $ será:
Isso significa que a nova frequência é a frequência original dividida pela raiz quadrada de 2.
Passo 6
Vamos calcular a nova frequência:
Resposta
A nova frequência do sistema, com a massa dobrada, é aproximadamente 1,41 Hz.