(**) Uma partícula de 3 kg está em movimento harmônico simples em uma dimensão e move-se de acordo com a seguinte equação:
x(t)=5 \cos \left(\frac{\pi}{3} t-\frac{\pi}{2}\right) \quad \text { (unidades no SI.) }
(a) Em qual valor de x (positivo) a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total?
R: x=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \mathrm{~m}
(b) Quanto tempo leva para que a partícula mova-se para esta posição x, a partir do ponto de equilíbrio?
\mathbf{R}: t=0,75 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=3\\ \mathrm{kg} em MHS unidimensional com
x(t)=5\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{3}t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr),
ou seja amplitude A=5\\ \mathrm{m}, frequência angular \omega=\pi/3\\ \mathrm{rad/s} e fase inicial \phi_0=-\pi/2.
Para (a) usaremos as fórmulas da energia total
E=\tfrac12\,k\,A^2
e da energia potencial
U=\tfrac12\,k\,x^2,
e para (b) resolveremos a equação horária x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0) procurando o primeiro t>0 em que x atinge o valor de (a), partindo de x(0)=0.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos a relação
\frac{U}{E} = \frac{\tfrac12\,k\,x^2}{\tfrac12\,k\,A^2} = \frac{x^2}{A^2}.
Queremos \tfrac{U}{E}=1/2, logo
\frac{x^2}{A^2} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{A^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\frac{A}{\sqrt2}.
Escolhendo o valor positivo,
x = \frac{5}{\sqrt2} = \frac{5\sqrt2}{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para a parte (b), observamos que em t=0 temos
x(0)=5\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
ou seja, a partícula parte do ponto de equilíbrio. Queremos o menor t>0 tal que
x(t)=\frac{5\sqrt2}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos(\omega t+\phi_0)=\frac{1}{\sqrt2}.
Chamando \theta=\omega t+\phi_0, isso dá
\theta = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n.
Como \theta=\omega t-\tfrac{\pi}{2}, tomamos a solução
\omega t - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \omega t = \frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\pi/4}{\pi/3} = \frac{3}{4}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \displaystyle x = \frac{5\sqrt2}{2}\\ \mathrm{m}
(b) \displaystyle t = 0,75\\ \mathrm{s}

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