Um sistema oscilatório massa-mola oscilante leva 0.82 s para começar a repetir seu movimento. Determine (a) o período. (b) a frequência em hertz e (c) a frequência angular em radianos por segundo.

Passo 1

O enunciado diz que o sistema leva \,0,82\\ \text{s}\, para começar a repetir seu movimento. As perguntas são:
  • (a) Qual é o período?
  • (b) Qual é a frequência em hertz?
  • (c) Qual é a frequência angular em rad/s?
Informações dadas:
  • Tempo para o movimento se repetir: \,0,82\\ \text{s}\,.

Passo 2

Entender o que cada pedido significa (definições simples e úteis para a prova).
  • Período: é o tempo que o sistema demora para completar uma oscilação e voltar ao mesmo estado. Denota-se por \,T\, e sua unidade é o segundo ( \,\text{s}\,).
  • Frequência em hertz: número de oscilações por segundo. Denota-se por \,f\, e tem unidade \,\text{Hz}. A relação com o período é
f=\frac{1}{T}.
  • Frequência angular: quantidade que aparece em equações do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t). Denota-se por \,\omega\, e tem unidade \,\text{rad/s}\,. A relação com a frequência é
\omega = 2\pi f,
ou, combinando,
\omega = \frac{2\pi}{T}.

Passo 3

Resposta direta para (a), com explicação curta.
O enunciado já dá o tempo para o movimento se repetir, que é justamente o período. Logo
T = 0,82\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular a frequência \,f a partir de \,T.
Usamos a fórmula
f=\frac{1}{T}.
Substituindo T=0,82\\ \text{s},
f=\frac{1}{0,82}.
Uma forma prática de transformar em fração para fazer a conta à mão é multiplicar numerador e denominador por 100:
\frac{1}{0,82}=\frac{100}{82}=\frac{50}{41}.
Agora faz-se a divisão 50\div 41 para obter a forma decimal (long division simples):
  • 41 cabe 1 vez em 50, resto 9. Então o inteiro é 1.
  • Coloca-se vírgula e baixa-se zero: 90\div41=2 (porque 2\cdot41=82), resto 8.
  • Baixa-se zero: 80\div41=1 (resto 39).
  • Baixa-se zero: 390\div41=9 (porque 9\cdot41=369), resto 21.
  • Baixa-se zero: 210\div41=5 (pois 5\cdot41=205), resto 5.
    Assim os primeiros dígitos são 1,2195\ldots. Portanto, arredondando de forma prática para duas casas decimais (útil em provas),
f\approx 1,22\\ \text{Hz}.
Se for preciso mais precisão, pode-se usar f\approx 1,2195\\ \text{Hz}.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega.
Usamos
\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=0,82\\ \text{s},
\omega = \frac{2\pi}{0,82}.
Para um valor numérico: 2\pi\approx 6,283185307. Dividindo por 0,82,
\omega \approx \frac{6,283185307}{0,82}\approx 7,662\\ \text{rad/s}.
Arredondando para duas casas decimais, muito usado em provas,
\omega \approx 7,66\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Resumo prático (como lembrar na prova):
  • Se o enunciado dá o tempo de repetição, é o período: T.
  • Para achar frequência: inverta T.
  • Para achar frequência angular: multiplique a frequência por 2\pi (ou divida 2\pi por T).
    Respire fundo: está certinho — é só aplicar essas três fórmulas diretas.

Resposta

(a) T=0,82\\ \text{s}
(b) f\approx 1,22\\ \text{Hz}
(c) \omega\approx 7,66\\ \text{rad/s}

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