Para um sistema oscilatório em uma mola, a posição de um corpo em movimento circular é dada por r(t)=(A cos (omega t), A sin (omega t), 0), onde A é a amplitude e omega a frequência angular.
  • © Mostre que a aceleração é proporcional à posição e indique o fator de proporcionalidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório numa mola, onde a posição de um corpo em movimento circular é dada por r(t) = (A cos (omega t), A sin (omega t), 0). O conteúdo envolvido aqui é o movimento oscilatório e a relação entre posição e aceleração. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a aceleração a partir da posição usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar r(t) duas vezes para encontrar a(t). As derivadas vão nos mostrar como a velocidade e a aceleração estão relacionadas com a posição.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de r(t) para encontrar a velocidade v(t):
v(t) = dr(t)dt = ddt (A cos (omega t), A sin (omega t), 0)
Derivando cada componente:
v(t) = (-A omega sin (omega t), A omega cos (omega t), 0)

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração a(t):
a(t) = dv(t)dt = ddt (-A omega sin (omega t), A omega cos (omega t), 0)
Derivando cada componente:
a(t) = (-A omega^2 cos (omega t), -A omega^2 sin (omega t), 0)

Passo 5

Observando a expressão da aceleração, podemos reescrevê-la em termos da posição original r(t):
a(t) = -omega^2 (A cos (omega t), A sin (omega t), 0) = -omega^2 r(t)

Resposta

A aceleração a(t) é proporcional à posição r(t), com o fator de proporcionalidade sendo -omega^2. Ou seja,
a(t) = -omega^2 r(t)

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