Para um sistema oscilatório em uma mola, a posição de um corpo em movimento circular é dada por
, onde
é a amplitude e
a frequência angular.
- © Mostre que a aceleração é proporcional à posição e indique o fator de proporcionalidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório numa mola, onde a posição de um corpo em movimento circular é dada por
. O conteúdo envolvido aqui é o movimento oscilatório e a relação entre posição e aceleração. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a aceleração a partir da posição usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar
duas vezes para encontrar
. As derivadas vão nos mostrar como a velocidade e a aceleração estão relacionadas com a posição.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
para encontrar a velocidade
:
Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração
:
Derivando cada componente:
Passo 5
Observando a expressão da aceleração, podemos reescrevê-la em termos da posição original
:
Resposta
A aceleração
é proporcional à posição
, com o fator de proporcionalidade sendo
. Ou seja,