Considere o campo vetorial A(x, y)=(3 x^2-y, 4 y^2+x).
  • (a) Calcule o gradiente da função escalar phi(x, y)=x^3+2 y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar chamada phi(x, y) = x^3 + 2 y^2. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, que são x e y.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar, como a nossa phi(x, y), é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Matematicamente, o gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a x. Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos phi em relação a x.
partial phipartial x = partialpartial x (x^3 + 2 y^2) = 3x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a y. Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos phi em relação a y.
partial phipartial y = partialpartial y (x^3 + 2 y^2) = 4y

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente.
nabla phi = ( 3x^2, 4y )

Resposta

O gradiente da função escalar phi(x, y) = x^3 + 2 y^2 é dado por
nabla phi = ( 3x^2, 4y )

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