Considere o campo vetorial
.
- (a) Calcule o gradiente da função escalar
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar chamada
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo do gradiente, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, que são
e
.
Passo 2
O gradiente de uma função escalar, como a nossa
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Matematicamente, o gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente.
Resposta
O gradiente da função escalar
é dado por