Uma onda senoidal é descrita pela função
, onde
, e
.
- (b) Encontre a derivada parcial de
em relação ao tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função que descreve uma onda senoidal:
onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular.
Nossa missão aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia nas funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função depende de
. Observamos que dentro do seno temos
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então, se
, a derivada de
em relação a
será:
A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é constante em relação a
.
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores que foram dados:
Substituindo na expressão:
Resposta
A derivada parcial de
em relação ao tempo
é: