Uma onda senoidal é descrita pela função y(x, t)=A sin (k x-omega t), onde A= 0.1 m, k=2 m^-1, e omega=4 s^-1.
  • (b) Encontre a derivada parcial de y em relação ao tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função que descreve uma onda senoidal:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular.
Nossa missão aqui é encontrar a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia nas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função depende de . Observamos que dentro do seno temos . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de partialpartial t sin(kx - omega t) = cos(kx - omega t) cdot partialpartial t(kx - omega t) em relação a é . Então, se , a derivada de em relação a será:
A derivada de em relação a é simplesmente , já que é constante em relação a .

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos:
partial ypartial t = A cdot partialpartial t sin(kx - omega t) = A cdot cos(kx - omega t) cdot (-omega)
Simplificando:
partial ypartial t = -Aomega cos(kx - omega t)

Passo 5

Vamos agora substituir os valores que foram dados:
A = 0.1 , m, omega = 4 , s^-1
Substituindo na expressão:
partial ypartial t = -0.1 times 4 cdot cos(2x - 4t) = -0.4 cos(2x - 4t) , m/s

Resposta

A derivada parcial de partial ypartial t = -0.4 cos(2x - 4t) , m/s em relação ao tempo é:

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