Orbitais híbridos s p^2 orientados no plano x y podem ser descritos pelas seguintes funções de onda:
psi1=1raiz3(s+raiz2 px) psi2=1raiz3(s-1raiz2 px+raiz32 py) psi3=1raiz3(s-1raiz2 px-raiz32 py)
a) Use orbitais hidrogenoides para escrever explicitamente a parte angular do orbital híbrido psi2. Chame a parte radial das funções de onda como fs(r) e fp(r) para os orbitais atômicos s e p, respectivamente.
b) Determine o ângulo phi no qual o orbital híbrido psi2 tem sua amplitude máxima no plano x y.
c) Verifique que psi2 é ortogonal em relação a psi1 e a psi3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três orbitais híbridos sp² no plano xy, dados por
psi1=tfrac1raiz3l(s+raiz2,pxr) psi2=tfrac1raiz3l(s-tfrac1raiz2,px+raiztfrac32,pyr) psi3=tfrac1raiz3l(s-tfrac1raiz2,px-raiztfrac32,pyr),
Precisamos:
a) Escrever a parte angular de ψ₂ usando orbitais hidrogenoides (onde chamamos a parte radial de f_s® e f_p®).
b) Achar o ângulo φ em que ψ₂ atinge máximo no plano xy.
c) Mostrar que ψ₂ é ortogonal a ψ₁ e ψ₃.
O conteúdo é sobre funções angulares de orbitais atômicos (harmônicos esféricos) e ortogonalidade de orbitais. Vamos precisar saber que
  • o orbital s é Y₀⁰(θ,φ)=1/√(4π),
  • o pₓ = √(3/4π) sinθ cosφ,
  • o pᵧ = √(3/4π) sinθ sinφ,
    e que integremos produtos desses Yₗᵐ para ver que são ortogonais.

Passo 2

(a) Montando ψ₂ com parte radial f_s®, f_p® e as peças angulares:
psi2(r,theta,phi) =tfrac1raiz3l( fs(r),Y0^0(theta,phi) -tfrac1raiz2,fp(r),Y1^x(theta,phi) +raiztfrac32,fp(r),Y1^y(theta,phi) r),
onde
Y0^0=1raiz4pi, Y1^x=raiz34pisinthetacosphi, Y1^y=raiz34pisinthetasinphi
Então a parte angular pura, que a gente chama de A₂(θ,φ), é
A2(theta,phi) =1raiz3l( 1raiz4pi -1raiz2,raiztfrac34pisinthetacosphi +raiztfrac32,raiztfrac34pisinthetasinphi r)

Passo 3

(b) No plano xy θ=90° (portanto sinθ=1). A gente define
A2(phi)propto 1;-;1raiz2cosphi ;+;raiztfrac32sinphi
Para achar o φ de máximo, derivamos em relação a φ e igualamos a zero:
ddphil( -tfrac1raiz2cosphi +raiztfrac32sinphi r) =tfrac1raiz2sinphi+raiztfrac32cosphi =0 ;Longrightarrow; tanphi=-raiz3 ;Longrightarrow; phi=120^circ(tfrac2pi3)

Passo 4

© Para ver ortogonalidade, calculamos o produto interno
⟨ψ₂|ψ₁⟩=∫ψ₂* ψ₁ dτ.
Como cada orbital s, pₓ, pᵧ é normalizado e mutuamente ortogonal (∫Y₀⁰Y₁ˣ=0, ∫Y₁ˣY₁ʸ=0 etc.), sobra só termos onde o mesmo tipo se multiplica. Expandindo
psi2psi1 =13l(s-tfrac1raiz2px+raiztfrac32pyr) l(s+raiz2,pxr),
os únicos termos não-nulos são
– s·s e pₓ·pₓ. O coeficiente de s·s é 1·1, o de pₓ·pₓ é ⟨ψ2|ψ1⟩ =tfrac13l(1cdot1+(-1)cdot1r)=0 . Então
Mesma ideia vale para ⟨ψ₂|ψ₃⟩: todos os cruzamentos pₓpᵧ e sp são zero, e os termos pₓ·pₓ e pᵧ·pᵧ cancelam.

Resposta

a) A parte angular de ψ₂ é
A2(theta,phi) =1raiz3l( Y0^0 -tfrac1raiz2,Y1^x +raiztfrac32,Y1^y r),
com , , .
b) No plano xy o máximo de ψ₂ ocorre em φ=120°.
c) De fato ⟨ψ₂|ψ₁⟩=0 e ⟨ψ₂|ψ₃⟩=0, logo ψ₂ é ortogonal a ψ₁ e ψ₃.

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