(PORTO, 2006, adaptado de 10.1) Uma galeria de águas pluviais, de 1,0 \mathrm{~m} de diâmetro, \mathrm{n}=0,013, declividade de fundo =0,007 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, transporta em regime uniforme uma vazão de 0,85 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determinar:
a) Altura d’água;
b) Tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento seja crítico;
e) A vazão, para a mesma declividade anterior, para um escoamento crítico \operatorname{com} n= 0,009;
f) O material, para um escoamento crítico de declividade de fundo igual a 0,005 \mathrm{m} / \mathrm{m} e vazão igual a 0,80 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tudo em SI):
D=1{,}0\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{D}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m},
n=0{,}013,\qquad S_0=0{,}007,\qquad Q=0{,}85\\ \mathrm{m^3/s}.
Pede-se:
a) altura d’água y (profundidade) na galeria em escoamento uniforme;
b) tensão de cisalhamento média no fundo;
c) tipo de escoamento (subcrítico ou supercrítico);
d) declividade de fundo S tal que, com a mesma vazão Q, o escoamento seja crítico;
e) a vazão, para a mesma declividade obtida no item (d), quando n=0{,}009 e o escoamento for crítico;
f) determinar o material (i.e., o coeficiente de Manning n e classificação) para que, com S=0{,}005 e Q=0{,}80\\ \mathrm{m^3/s}, o escoamento seja crítico.
Informações geométricas da seção circular parcialmente cheia que usaremos (obtidas da geometria da circunferência):
  • defina um ângulo central (meio-ângulo) \theta (radianos) tal que a região molhada tem ângulo central total 2\theta;
  • área molhada:
A(\theta)=r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr);
  • perímetro molhado:
P(\theta)=2r\theta;
  • raio hidráulico:
R(\theta)=\frac{A(\theta)}{P(\theta)};
  • profundidade (altura d’água) medida a partir do ponto mais baixo:
y(\theta)=r\bigl(1-\cos\theta\bigr);
  • largura no espelho d’água (top width):
T(\theta)=2r\sin\theta.
A partir daqui vamos aplicar a fórmula de Manning para escoamento uniforme e a condição de escoamento crítico; não vou resolver nada neste passo — só organizei o que temos e o que precisamos usar.

Passo 2

Relembrando fórmulas essenciais e interpretação (mini-aula prática):
  • Fórmula de Manning (escoamento uniforme):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde Q é a vazão, n coeficiente de rugosidade de Manning, A área molhada, R raio hidráulico, e S declividade do fundo. Cada símbolo tem suas unidades SI: Q em \mathrm{m^3/s}, A em \mathrm{m^2}, R em \mathrm{m}, S adimensional.
  • Condição de escoamento crítico (em seção qualquer): a velocidade média V satisfaz
V_c^2 = g\frac{A}{T},
com V_c=Q_c/A. Colocando em função de Q:
Q_c=\sqrt{g}\,\frac{A^{3/2}}{\sqrt{T}}.
Isto dá a relação entre a geometria da lâmina A(\theta),T(\theta) e a vazão crítica para essa lâmina.
  • Para resolver y em escoamento uniforme: substituímos A(\theta) e R(\theta) na fórmula de Manning e resolvemos para \theta (equação não-linear) — processo tipicamente iterativo (tente valores de \theta até encontrar Q pedido). Vou mostrar a iteração numérica passo a passo.
Constantes numéricas que usarei:
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\qquad \gamma = 9810\\ \mathrm{N/m^3}\\ \text{(peso específico da água)}.íá

Passo 3

Montamos a equação de Manning para Q=0{,}85\\ \mathrm{m^3/s}:
Q(\theta)=\frac{1}{n}\,A(\theta)\,R(\theta)^{2/3}\,S_0^{1/2},
com n=0{,}013 e S_0=0{,}007. Vamos calcular numericamente \theta tal que Q(\theta)=0{,}85.
Cálculos auxiliares (constante front-end):
\frac{1}{n}\sqrt{S_0}=\frac{1}{0{,}013}\sqrt{0{,}007}\approx 76{,}9231\times 0{,}083666\approx 6{,}432.
Logo
Q(\theta)\approx 6{,}432\;A(\theta)\;R(\theta)^{2/3}.
Agora fazemos tentativas (apresento as principais iterações):
  • tentativa \theta=1{,}5708 (meio cano): A=0{,}3927, P=1{,}5708, R=0{,}25 Q\approx1{,}002\\ \mathrm{m^3/s} (muito grande → precisamos de \theta menor).
  • tentativa \theta=1{,}4: A\approx0{,}3081, P=1{,}4, R\approx0{,}2201 Q\approx0{,}723 (muito pequeno).
  • refinando, entre \theta=1{,}46 e \theta=1{,}48 encontramos \theta que dá Q próximo de 0{,}85. Com iteração (interpolações lineares) obtém-se
\theta \approx 1{,}4776\\ \text{rad}.
Agora a profundidade:
y(\theta)=r\bigl(1-\cos\theta\bigr)=0{,}5\bigl(1-\cos(1{,}4776)\bigr).
Calculando \cos(1{,}4776)\approx 0{,}0899, então
y\approx 0{,}5\times 0{,}9101\approx 0{,}455\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura d’água na galeria em regime uniforme é aproximadamente 0{,}455\\ \mathrm{m}. (Explico: a iteração foi feita ajustando \theta até que a fórmula de Manning desse Q=0{,}85; para cada \theta usamos as fórmulas de A e R indicadas no Passo 1.)

Passo 4

A tensão média no fundo (tensão de corte na linha de contato fluido-solo) para escoamento em canal aberto é dada por
\tau_0=\gamma\,R\,S_0,
onde R é o raio hidráulico da seção molhada (obtido na solução do item a). Usamos R(\theta) calculado para \theta\approx 1{,}4776.
Do item (a) tínhamos A\approx0{,}347\\ \mathrm{m^2} e P\approx 1{,}4776\\ \mathrm{m}, então
R=\frac{A}{P}\approx\frac{0{,}347}{1{,}4776}\approx 0{,}234\\ \mathrm{m}.
(na iteração anterior usamos valor arredondado R\approx0{,}2339; aqui mantenho a consistência numérica)
Agora
\tau_0=\;9810\times 0{,}2339\times 0{,}007\approx 16{,}1\\ \mathrm{N/m^2}.
Portanto a tensão média no fundo é aproximadamente \,16{,}1\\ \mathrm{N/m^2} (ou Pa).

Passo 5

Para decidir se o escoamento é subcrítico ou supercrítico usamos o número de Froude generalizado para seção qualquer:
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,\dfrac{A}{T}}},
onde V=Q/A é a velocidade média e T é a largura do espelho d’água T=2r\sin\theta.
Usando os valores já obtidos ( \theta\approx1{,}4776):
A\approx0{,}347\\ \mathrm{m^2},\qquad T\approx 2\times 0{,}5\times\sin(1{,}4776)\approx 0{,}995\\ \mathrm{m}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}\approx\frac{0{,}85}{0{,}347}\approx 2{,}45\\ \mathrm{m/s}.
Parâmetro da onda crítica:
\sqrt{g\frac{A}{T}}\approx\sqrt{9{,}81\cdot\frac{0{,}347}{0{,}995}}\approx 1{,}85\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\mathrm{Fr}\approx\frac{2{,}45}{1{,}85}\approx 1{,}32>1.
Como \mathrm{Fr}>1, o escoamento é supercrítico.

Passo 6

Estratégia: para escoamento crítico a profundidade deve satisfazer a condição crítica
Q=\sqrt{g}\,\frac{A(\theta)^{3/2}}{\sqrt{T(\theta)}}.
Primeiro encontramos \theta_{c} que torna crítica a vazão Q=0{,}85. Resolvendo numericamente (proc. similar ao item a, agora com a fórmula crítica) obtemos:
\theta_c\approx 1{,}623\\ \text{rad}.
Com essa \theta_c a geometria crítica é:
A_c\approx 0{,}4188\\ \mathrm{m^2},\qquad P_c=2r\theta_c\approx 1{,}623\\ \mathrm{m},
R_c=\frac{A_c}{P_c}\approx 0{,}2580\\ \mathrm{m},\qquad T_c\approx 2r\sin\theta_c\approx 0{,}999\\ \mathrm{m}.
Agora, para que essa profundidade crítica seja consistente com Manning (i.e., a mesma vazão e geometria), a declividade requerida é obtida isolando S em Manning:
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Substituindo A_c,R_c,Q,n:
S\approx\left(\frac{0{,}85\times 0{,}013}{0{,}4188\times 0{,}2580^{2/3}}\right)^{2}\approx 0{,}00425.
Portanto a declividade de fundo necessária para que, com Q=0{,}85 e n=0{,}013, o escoamento seja crítico é aproximadamente S\approx 0{,}00425 (adimensional; m/m).

Passo 7

Interpretação e método: agora tomamos S=S_{(d)}\approx0{,}00425 fixo e mudamos n para 0{,}009. Queremos a vazão Q tal que o escoamento seja crítico sob essa declividade — isto significa que devemos encontrar a lâmina crítica (isto é, \theta que satisfaz simultaneamente a condição crítica e a equação de Manning com os novos n e com S fixo). Procedimento numérico: resolvemos para \theta a equação
S=\;n^{2}g\frac{A(\theta)}{T(\theta)R(\theta)^{4/3}}
(esta equação vem de igualar a expressão de S obtida de combinar Manning com a condição crítica; é conveniente para achar a \theta crítica compatível com S e n). Feita a iteração com n=0{,}009 e S=0{,}00425, encontra-se:
\theta\approx 2{,}404\\ \text{rad}.
Com essa lâmina crítica obtemos a vazão crítica (usando a fórmula crítica):
Q_c=\sqrt{g}\,\frac{A(\theta)^{3/2}}{\sqrt{T(\theta)}}\approx 2{,}36\\ \mathrm{m^3/s}.
Portanto, com a mesma declividade do item (d) e n=0{,}009, a vazão crítica é aproximadamente 2{,}36\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 8

Primeiro, a condição crítica determina a lâmina crítica (portanto \theta) a partir de Q=0{,}80:
Q=\sqrt{g}\,\frac{A(\theta)^{3/2}}{\sqrt{T(\theta)}}.
Resolve-se numericamente para \theta (procedimento igual ao usado nos itens anteriores). Encontramos
\theta_c\approx 1{,}590\\ \text{rad}.
Com essa \theta_c obtemos:
A_c\approx 0{,}4023\\ \mathrm{m^2},\qquad P_c\approx 1{,}590\\ \mathrm{m},\qquad R_c\approx 0{,}2531\\ \mathrm{m},
T_c\approx 2r\sin\theta_c\approx 0{,}9998\\ \mathrm{m}.
Agora isolamos n a partir da relação que combina Manning e condição crítica (ver Passo 7):
S=\;n^{2}g\frac{A_c}{T_c R_c^{4/3}} \quad\Longrightarrow\quad n=\sqrt{\frac{S\,T_c\,R_c^{4/3}}{g\,A_c}}.
Substituindo S=0{,}005 e os valores geométricos:
  • calculei R_c^{4/3}\approx 0{,}160 (numérico),
  • daí
n\approx\sqrt{\frac{0{,}005\times 0{,}9998\times 0{,}160}{9{,}81\times 0{,}4023}}\approx 0{,}0142.
Interpretação do resultado (material): valores típicos de n (referência prática)
  • canal em concreto liso: n\approx 0{,}011 a 0{,}013;
  • concreto comum com juntas ou ligeira rugosidade / alvenaria: n\approx 0{,}013 a 0{,}015;
  • canal em terra bem preparado: n\approx 0{,}02 a 0{,}03, etc.
Com n\approx 0{,}0142 o material mais compatível é um revestimento em concreto com pequenas irregularidades ou alvenaria (i.e., concreto não perfeitamente liso, ou concreto com juntas). Em resumo: n\approx0{,}014 — material: concreto (revestimento regular / concreto com juntas).

Resposta

a) y\approx 0{,}455\\ \mathrm{m}
b) \tau_0\approx 16{,}1\\ \mathrm{N/m^2}
c) Escoamento supercrítico ( \mathrm{Fr}\approx 1{,}32)
d) S\approx 0{,}00425 (m/m)
e) Q\approx 2{,}36\\ \mathrm{m^3/s}
f) n\approx 0{,}0142 — material compatível: revestimento em concreto com pequenas irregularidades (concreto/alvenaria).

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