(PORTO, 2006, adaptado de 10.1) Uma galeria de águas pluviais, de
de diâmetro,
, declividade de fundo
, transporta em regime uniforme uma vazão de
. Determinar:
a) Altura d’água;
b) Tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento seja crítico;
e) A vazão, para a mesma declividade anterior, para um escoamento crítico
0,009;
f) O material, para um escoamento crítico de declividade de fundo igual a 0,005
e vazão igual a
.
a) Altura d’água;
b) Tensão de cisalhamento média no fundo;
c) O tipo de escoamento;
d) A declividade de fundo para que, com a mesma vazão, o escoamento seja crítico;
e) A vazão, para a mesma declividade anterior, para um escoamento crítico
f) O material, para um escoamento crítico de declividade de fundo igual a 0,005
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (tudo em SI):
Pede-se:
a) altura d’água (profundidade) na galeria em escoamento uniforme;
b) tensão de cisalhamento média no fundo;
c) tipo de escoamento (subcrítico ou supercrítico);
d) declividade de fundo tal que, com a mesma vazão
, o escoamento seja crítico;
e) a vazão, para a mesma declividade obtida no item (d), quando e o escoamento for crítico;
f) determinar o material (i.e., o coeficiente de Manning e classificação) para que, com
e
, o escoamento seja crítico.
a) altura d’água
b) tensão de cisalhamento média no fundo;
c) tipo de escoamento (subcrítico ou supercrítico);
d) declividade de fundo
e) a vazão, para a mesma declividade obtida no item (d), quando
f) determinar o material (i.e., o coeficiente de Manning
Informações geométricas da seção circular parcialmente cheia que usaremos (obtidas da geometria da circunferência):
- defina um ângulo central (meio-ângulo)
(radianos) tal que a região molhada tem ângulo central total ; - área molhada:
- perímetro molhado:
- raio hidráulico:
- profundidade (altura d’água) medida a partir do ponto mais baixo:
- largura no espelho d’água (top width):
A partir daqui vamos aplicar a fórmula de Manning para escoamento uniforme e a condição de escoamento crítico; não vou resolver nada neste passo — só organizei o que temos e o que precisamos usar.
Passo 2
Relembrando fórmulas essenciais e interpretação (mini-aula prática):
- Fórmula de Manning (escoamento uniforme):
onde
é a vazão,
coeficiente de rugosidade de Manning,
área molhada,
raio hidráulico, e
declividade do fundo. Cada símbolo tem suas unidades SI:
em
,
em
,
em
,
adimensional.
- Condição de escoamento crítico (em seção qualquer): a velocidade média
satisfaz
com
. Colocando em função de
:
Isto dá a relação entre a geometria da lâmina
e a vazão crítica para essa lâmina.
- Para resolver
em escoamento uniforme: substituímos e na fórmula de Manning e resolvemos para (equação não-linear) — processo tipicamente iterativo (tente valores de até encontrar pedido). Vou mostrar a iteração numérica passo a passo.
Constantes numéricas que usarei:
Passo 3
Montamos a equação de Manning para
:
com
e
. Vamos calcular numericamente
tal que
.
Cálculos auxiliares (constante front-end):
Logo
Agora fazemos tentativas (apresento as principais iterações):
- tentativa
(meio cano): , , → (muito grande → precisamos de menor). - tentativa
: , , → (muito pequeno). - refinando, entre
e encontramos que dá próximo de . Com iteração (interpolações lineares) obtém-se
Agora a profundidade:
Calculando
, então
Portanto a altura d’água na galeria em regime uniforme é aproximadamente
. (Explico: a iteração foi feita ajustando
até que a fórmula de Manning desse
; para cada
usamos as fórmulas de
e
indicadas no Passo 1.)
Passo 4
A tensão média no fundo (tensão de corte na linha de contato fluido-solo) para escoamento em canal aberto é dada por
onde
é o raio hidráulico da seção molhada (obtido na solução do item a). Usamos
calculado para
.
Do item (a) tínhamos
e
, então
(na iteração anterior usamos valor arredondado
; aqui mantenho a consistência numérica)
Agora
Portanto a tensão média no fundo é aproximadamente
(ou Pa).
Passo 5
Para decidir se o escoamento é subcrítico ou supercrítico usamos o número de Froude generalizado para seção qualquer:
onde
é a velocidade média e
é a largura do espelho d’água
.
Usando os valores já obtidos (
):
Velocidade média:
Parâmetro da onda crítica:
Logo
Como
, o escoamento é supercrítico.
Passo 6
Estratégia: para escoamento crítico a profundidade deve satisfazer a condição crítica
Primeiro encontramos
que torna crítica a vazão
. Resolvendo numericamente (proc. similar ao item a, agora com a fórmula crítica) obtemos:
Com essa
a geometria crítica é:
Agora, para que essa profundidade crítica seja consistente com Manning (i.e., a mesma vazão e geometria), a declividade requerida é obtida isolando
em Manning:
Substituindo
:
Portanto a declividade de fundo necessária para que, com
e
, o escoamento seja crítico é aproximadamente
(adimensional; m/m).
Passo 7
Interpretação e método: agora tomamos
fixo e mudamos
para
. Queremos a vazão
tal que o escoamento seja crítico sob essa declividade — isto significa que devemos encontrar a lâmina crítica (isto é,
que satisfaz simultaneamente a condição crítica e a equação de Manning com os novos
e com
fixo). Procedimento numérico: resolvemos para
a equação
(esta equação vem de igualar a expressão de
obtida de combinar Manning com a condição crítica; é conveniente para achar a
crítica compatível com
e
). Feita a iteração com
e
, encontra-se:
Com essa lâmina crítica obtemos a vazão crítica (usando a fórmula crítica):
Portanto, com a mesma declividade do item (d) e
, a vazão crítica é aproximadamente
.
Passo 8
Primeiro, a condição crítica determina a lâmina crítica (portanto
) a partir de
:
Resolve-se numericamente para
(procedimento igual ao usado nos itens anteriores). Encontramos
Com essa
obtemos:
Agora isolamos
a partir da relação que combina Manning e condição crítica (ver Passo 7):
Substituindo
e os valores geométricos:
- calculei
(numérico), - daí
Interpretação do resultado (material): valores típicos de
(referência prática)
- canal em concreto liso:
a ; - concreto comum com juntas ou ligeira rugosidade / alvenaria:
a ; - canal em terra bem preparado:
a , etc.
Com
o material mais compatível é um revestimento em concreto com pequenas irregularidades ou alvenaria (i.e., concreto não perfeitamente liso, ou concreto com juntas). Em resumo:
— material: concreto (revestimento regular / concreto com juntas).
Resposta
a)
b)
c) Escoamento supercrítico ( )
d) (m/m)
e)
f) — material compatível: revestimento em concreto com pequenas irregularidades (concreto/alvenaria).
b)
c) Escoamento supercrítico (
d)
e)
f)