Use o teorema de Lyapunov para verificar se este sistema é estável.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos o sistema
onde
O que pedem é usar o Teorema de Lyapunov pra verificar se esse sistema é estável (assintoticamente estável, na verdade).
Conteúdo: estabilidade de sistemas LTI e Teorema de Lyapunov. Vamos precisar encontrar uma matriz que satisfaça
Passo 2
O Teorema de Lyapunov diz: para , se existir tal que
com , então o sistema é globalmente assintoticamente estável. A ideia é escolher um simples (por ex. ) e resolver para .
Passo 3
Escolho
Aí monto a equação de Lyapunov:
Passo 4
Calculando e igualando a dá o sistema linear
Resolvendo:
Logo
Verificando os menores principais: e . Então . Como também , todas as condições do teorema estão satisfeitas.
Resposta
O sistema é assintoticamente estável (logo estável), pois encontramos tal que .