Um sistema tem a seguinte representação:
Use o teorema de Lyapunov para verificar se este sistema é estável.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos o sistema
dot x(t)=A,x(t)+B,u(t), y(t)=C,x(t),
onde
A=0&1-3&-4,;B=01,;C=(10;;0)
O que pedem é usar o Teorema de Lyapunov pra verificar se esse sistema é estável (assintoticamente estável, na verdade).
Conteúdo: estabilidade de sistemas LTI e Teorema de Lyapunov. Vamos precisar encontrar uma matriz A^T P + P,A < 0 que satisfaça

Passo 2

O Teorema de Lyapunov diz: para A^T P + P,A = -Q , se existir tal que
com , então o sistema é globalmente assintoticamente estável. A ideia é escolher um simples (por ex. ) e resolver para .

Passo 3

Escolho
Q = I = 1&00&1, P = p11&p12p12&p22
Aí monto a equação de Lyapunov:
A^T P + P A = -I

Passo 4

Calculando -6,p12 = -1, p11-4,p12-3,p22=0, 2,p12-8,p22 = -1 e igualando a p12=tfrac16, p22=tfrac16, p11=tfrac76 dá o sistema linear
P=7/6 & 1/61/6 & 1/6
Resolvendo:
Logo
Verificando os menores principais: e . Então . Como também , todas as condições do teorema estão satisfeitas.

Resposta

O sistema é assintoticamente estável (logo estável), pois encontramos tal que .

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