Se A X=B é um sistema n \times n e a matriz A_{n \times n} é invertível, então a solução do sistema, matriz X, pode ser dada invertendo a matriz do sistema:
A X=B \Longrightarrow X=A^{-1} B
Usando a ideia descrita, encontre a solução dos seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=0 \\\\ -x+2 y-z=-7 \\\\ 5 x+y-z=-3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear [3\times3) e pede a solução usando a ideia A X=B \Rightarrow X=A^{-1}B.
Informações fornecidas:
O sistema é
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0,\\[4pt] - x + 2y - z = -7,\\[4pt] 5x + y - z = -3. \end{cases}
Vou tomar a matriz dos coeficientes como A\], o vetor incógnita como \(X e o vetor dos termos independentes como B.
O que se pede:
Achar a matriz X (ou seja, os valores de x,y,z) aplicando X = A^{-1}B.]
Como \det(A)=-29\neq0, A é invertível e posso prosseguir.]
Passo 4
Agora calculo a matriz dos cofatores (matriz dos cofatores é formada por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor obtido apagando a linha i e a coluna j).
Calculo dos menores e cofatores (mostrando os cálculos):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=-1, então C_{11}=(-1)^{2}(-1)=-1.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}=6, então C_{12}=(-1)^{3}\cdot6=-6.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=-11, então C_{13}=(-1)^{4}(-11)=-11.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-3\cdot1=1-3=-2, então C_{21}=(-1)^{3}(-2)=2.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot5=-2-15=-17, então C_{22}=(-1)^{4}(-17)=-17.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot5=2+5=7, então C_{23}=(-1)^{5}\cdot7=-7.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-3\cdot2=1-6=-5, então C_{31}=(-1)^{4}(-5)=-5.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-2+3=1, então C_{32}=(-1)^{5}\cdot1=-1.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)(-1)=4-1=3, então C_{33}=(-1)^{6}\cdot3=3.