Se A X=B é um sistema n \times n e a matriz A_{n \times n} é invertível, então a solução do sistema, matriz X, pode ser dada invertendo a matriz do sistema:
A X=B \Longrightarrow X=A^{-1} B
Usando a ideia descrita, encontre a solução dos seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=0 \\\\ -x+2 y-z=-7 \\\\ 5 x+y-z=-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear [3\times3) e pede a solução usando a ideia A X=B \Rightarrow X=A^{-1}B.
Informações fornecidas:
  • O sistema é
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0,\\[4pt] - x + 2y - z = -7,\\[4pt] 5x + y - z = -3. \end{cases}
  • Vou tomar a matriz dos coeficientes como A\], o vetor incógnita como \(X e o vetor dos termos independentes como B.
O que se pede:
  • Achar a matriz X (ou seja, os valores de x,y,z) aplicando X = A^{-1}B.]

Passo 2

Escrever o sistema na forma matricial A X=B.
Defino
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\[4pt]-1 & 2 & -1\\[4pt]5 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-7\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Então a solução será
X = A^{-1} B.]

Passo 3

Vou encontrar A^{-1} usando a fórmula A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Primeiro calculo \det(A).
Para uma matriz 3\times3 é comum expandir pela primeira linha:
\det(A)=2\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-(-1)\cdot1=-2+1=-1,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-(-1)\cdot5=1+5=6,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot5=-1-10=-11.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-1) -(-1)\cdot6 + 3\cdot(-11)= -2 +6 -33 = -29.
Como \det(A)=-29\neq0, A é invertível e posso prosseguir.]

Passo 4

Agora calculo a matriz dos cofatores (matriz dos cofatores é formada por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor obtido apagando a linha i e a coluna j).
Calculo dos menores e cofatores (mostrando os cálculos):
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=-1, então C_{11}=(-1)^{2}(-1)=-1.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}=6, então C_{12}=(-1)^{3}\cdot6=-6.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=-11, então C_{13}=(-1)^{4}(-11)=-11.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-3\cdot1=1-3=-2, então C_{21}=(-1)^{3}(-2)=2.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot5=-2-15=-17, então C_{22}=(-1)^{4}(-17)=-17.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot5=2+5=7, então C_{23}=(-1)^{5}\cdot7=-7.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-3\cdot2=1-6=-5, então C_{31}=(-1)^{4}(-5)=-5.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-2+3=1, então C_{32}=(-1)^{5}\cdot1=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)(-1)=4-1=3, então C_{33}=(-1)^{6}\cdot3=3.
A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -1 & -6 & -11\\[4pt] 2 & -17 & -7\\[4pt] -5 & -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjunta (ou adjugate) \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Logo
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -1 & 2 & -5\\[4pt] -6 & -17 & -1\\[4pt] -11 & -7 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora obtenho A^{-1} pela fórmula
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{-29} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -5\\[4pt] -6 & -17 & -1\\[4pt] -11 & -7 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculo X=A^{-1}B. Para evitar frações intermediárias, primeiro computo \operatorname{adj}(A)\,B e depois divido por \det(A)=-29.
Multiplicação \operatorname{adj}(A)\,B:
\begin{pmatrix} -1 & 2 & -5\\[4pt] -6 & -17 & -1\\[4pt] -11 & -7 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]-7\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot0 + 2\cdot(-7) + (-5)\cdot(-3)\\[6pt] (-6)\cdot0 + (-17)\cdot(-7) + (-1)\cdot(-3)\\[6pt] (-11)\cdot0 + (-7)\cdot(-7) + 3\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]122\\[4pt]40\end{pmatrix}.
Dividindo pelo determinante:
X = \dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)B = \dfrac{1}{-29}\begin{pmatrix}1\\[4pt]122\\[4pt]40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{29}\\[6pt] -\dfrac{122}{29}\\[6pt] -\dfrac{40}{29} \end{pmatrix}.
Cada componente corresponde a x,y,z respectivamente.]

Resposta

x=-\dfrac{1}{29}
y=-\dfrac{122}{29}
z=-\dfrac{40}{29}

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