Se A X=B é um sistema n \times n e a matriz A_{n \times n} é invertível, então a solução do sistema, matriz X, pode ser dada invertendo a matriz do sistema:
A X=B \Longrightarrow X=A^{-1} B
Usando a ideia descrita, encontre a solução dos seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\\ x+2 y=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações com duas incógnitas e pede sua solução usando a ideia da inversão de matriz. As informações fornecidas são:
  • As equações do sistema são
\begin{cases} 2x - y = 1,\\[4pt] x + 2y = 8. \end{cases}
  • Queremos encontrar os valores de x e y.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A X = B. Identificamos:
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},\qquad X = \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]8\end{pmatrix}.
A solução, quando A é invertível, é X = A^{-1}B. Então nosso objetivo é calcular A^{-1} e multiplicar por B.]

Passo 3

Verificamos se A é invertível calculando o determinante. Para uma matriz 2\times2
\text{se } A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\text{ então }\det(A)=ad-bc.ã
Aqui a=2, b=-1, c=1, d=2. Logo
\det(A)=2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 4 - (-1) = 5.
Como \det(A)=5\neq 0, a matriz A é invertível.]

Passo 4

Para inverter uma matriz 2\times2 existe uma fórmula direta: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
então, quando \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui explicando as variáveis: a,b,c,d são os elementos da matriz A na posição indicada; \det(A) é o determinante que calculamos no passo anterior. A fórmula troca a e d e troca o sinal de b e c, depois divide tudo pelo determinante.]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso A (com \det(A)=5), obtemos
A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Detalhe do cálculo dos elementos: trocamos a=2 com d=2 (ficam ambos 2), mudamos o sinal de b=-1 para 1, e de c=1 para -1.]

Passo 6

Agora calculamos X=A^{-1}B. Primeiro multiplicamos a matriz dentro do parêntese por B, e depois multiplicamos pelo fator escalar \tfrac{1}{5}. A multiplicação de uma matriz 2\times2 por um vetor 2\times1 é feita somando produtos linha por coluna:
\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1\cdot 8 \\[4pt] -1\cdot 1 + 2\cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 8 \\[4pt] -1 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\[4pt] 15 \end{pmatrix}.
Agora aplicamos o fator \tfrac{1}{5}:
X = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}10\\[4pt]15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretando o resultado: o vetor solução X dá os valores de x e y:
x=2,\qquad y=3.
Como checagem rápida (opcional mas útil na prova), substituímos nas equações originais:
  • Primeira equação: 2x-y = 2\cdot 2 - 3 = 4-3=1 (confere).
  • Segunda equação: x+2y = 2 + 2\cdot 3 = 2+6=8 (confere).

Resposta

x=2
y=3

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