Se
é um sistema
e a matriz
é invertível, então a solução do sistema, matriz
, pode ser dada invertendo a matriz do sistema:
Usando a ideia descrita, encontre a solução dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de duas equações com duas incógnitas e pede sua solução usando a ideia da inversão de matriz. As informações fornecidas são:
- As equações do sistema são
- Queremos encontrar os valores de
e .]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
. Identificamos:
A solução, quando
é invertível, é
. Então nosso objetivo é calcular
e multiplicar por
.]
Passo 3
Verificamos se
é invertível calculando o determinante. Para uma matriz
Aqui
,
,
,
. Logo
Como
, a matriz
é invertível.]
Passo 4
Para inverter uma matriz
existe uma fórmula direta: se
então, quando
,
Aqui explicando as variáveis:
são os elementos da matriz
na posição indicada;
é o determinante que calculamos no passo anterior. A fórmula troca
e
e troca o sinal de
e
, depois divide tudo pelo determinante.]
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso
(com
), obtemos
Detalhe do cálculo dos elementos: trocamos
com
(ficam ambos
), mudamos o sinal de
para
, e de
para
.]
Passo 6
Agora calculamos
. Primeiro multiplicamos a matriz dentro do parêntese por
, e depois multiplicamos pelo fator escalar
. A multiplicação de uma matriz
por um vetor
é feita somando produtos linha por coluna:
Agora aplicamos o fator
:
Passo 7
Interpretando o resultado: o vetor solução
dá os valores de
e
:
Como checagem rápida (opcional mas útil na prova), substituímos nas equações originais:
- Primeira equação:
(confere). - Segunda equação:
(confere).