Questão 44. (PUC-RS - adaptada) A soma das idades de Luís (L), Paulo (P) e Juliano (J) é 114 anos. Luís é pai de Paulo, que é pai de Juliano. Retirando a idade de Paulo do dobro da idade de Juliano e somando a idade de seu avô, obtemos 42 anos. Diminuindo a idade de Paulo da idade de Luís, obtemos 18. Um sistema de equações lineares descreve esse problema. Encontre o sistema e resolva-o para encontrar a idade de cada um.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos as idades de três pessoas: Luís, Paulo e Juliano, usando as informações dadas. Os dados relevantes que o enunciado fornece são:
A soma das idades é 114 anos.
Luís é pai de Paulo e Paulo é pai de Juliano (ordem geracional, informação contextual).
“Retirando a idade de Paulo do dobro da idade de Juliano e somando a idade de seu avô, obtemos 42 anos.”
“Diminuindo a idade de Paulo da idade de Luís, obtemos 18.”
As perguntas do problema são:
Escrever o sistema de equações que modela essas informações.
Resolver o sistema para encontrar a idade de cada um: Luís, Paulo e Juliano.
Passo 2
Vamos definir variáveis para as idades (isso é essencial para transformar as frases em equações):
Seja L a idade de Luís (em anos).
Seja P a idade de Paulo (em anos).
Seja J a idade de Juliano (em anos).
Agora traduzimos cada informação para uma equação:
“A soma das idades é 114 anos” vira
L + P + J = 114.
“Retirando a idade de Paulo do dobro da idade de Juliano e somando a idade de seu avô, obtemos 42 anos” significa: dobro de Juliano é 2J, subtrai-se P, soma-se L:
L + 2J - P = 42.
"Diminuindo a idade de Paulo da idade de Luís, obtemos 18" vira
L - P = 18.
Portanto o sistema procurado é
\begin{cases} L + P + J = 114,\\[4pt] L + 2J - P = 42,\\[4pt] L - P = 18. \end{cases}]
Passo 3
Escolhemos um método simples e direto: usar a equação mais fácil para isolar uma variável e substituir nas outras (método da substituição). Isso reduz o sistema e evita cálculos pesados — bom para prova.
A equação mais simples é \,L - P = 18. Isolamos L:
L = P + 18.
Explico por que isso é válido: a igualdade mantém-se se somarmos P aos dois lados; operações iguais em ambos os lados preservam a igualdade.
Passo 4
Substituímos L = P + 18 nas outras equações. Primeiro na equação da soma:
L + P + J = 114
substituindo L:
(P + 18) + P + J = 114.
Agora simplificamos somando termos semelhantes: P + P = 2P e +18 fica junto:
2P + J + 18 = 114.
Isolamos J (ou escrevemos uma relação útil):
2P + J = 114 - 18 = 96,
portanto
J = 96 - 2P.
Passo 5
Agora substituímos L = P + 18 e J = 96 - 2P na segunda equação original
L + 2J - P = 42.
Fazendo a substituição:
(P + 18) + 2(96 - 2P) - P = 42.
Vamos desenvolver passo a passo (distribuir e somar termos):
Primeiro calcule 2(96 - 2P) = 192 - 4P.
Então a soma fica:
P + 18 + 192 - 4P - P = 42.
Agora somamos constantes e agrupamos os termos em P:
Termos em P: P - 4P - P = -4P.
Constantes: 18 + 192 = 210.
Logo:
-4P + 210 = 42.
Isolamos P: subtrai-se 210 de ambos os lados,
-4P = 42 - 210 = -168.
Dividindo ambos os lados por -4:
P = \frac{-168}{-4} = 42.
Passo 6
Com P = 42, voltamos às expressões que obtivemos para L e J:
De L = P + 18 vem
L = 42 + 18 = 60.
De J = 96 - 2P vem
J = 96 - 2\cdot 42 = 96 - 84 = 12.
Passo 7
Verificação (sempre bom checar na prova): substituímos (L,P,J)=(60,42,12) nas três equações originais para garantir que tudo fecha.