Um sistema de transporte de água entre dois reservatórios, com diferença de nível de 12 m , é feito por uma tubulação de 1.100 m de comprimento e
de diâmetro e uma bomba para o recalque. Observa-se que, para o fluxo ascendente, recalque, e para o fluxo descendente, escoamento por gravidade, a vazão é a mesma. Se o rendimento da bomba é de 70%, determine sua potência. Rugosidade absoluta da tubulação, e=0,25 mm.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos:
– Dois reservatórios com diferença de nível Δz = 12 m.
– Tubulação de comprimento L = 1100 m e diâmetro D = 0,20 m, rugosidade absoluta e = 0,25 mm.
– Na subida, a água é bombeada; na descida, escoa por gravidade. A vazão é a mesma nos dois casos.
– A eficiência da bomba é η = 70 %.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (perda de carga de Darcy–Weisbach, fator de atrito, número de Reynolds) e balanço energético (bomba).
Precisamos de:
– Dois reservatórios com diferença de nível Δz = 12 m.
– Tubulação de comprimento L = 1100 m e diâmetro D = 0,20 m, rugosidade absoluta e = 0,25 mm.
– Na subida, a água é bombeada; na descida, escoa por gravidade. A vazão é a mesma nos dois casos.
– A eficiência da bomba é η = 70 %.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (perda de carga de Darcy–Weisbach, fator de atrito, número de Reynolds) e balanço energético (bomba).
Precisamos de:
- Igualar a perda de carga na descida à carga estática (12 m) para achar Q.
- Calcular a potência da bomba considerando eficiência.
Passo 2
Quando a água desce só pela diferença de nível, não há bomba e a energia disponível Δz é toda gasta em perda de carga:
Aqui
é a perda de carga total ao longo dos 1100 m.
Passo 3
A perda de carga de Darcy–Weisbach vale
onde
– é o fator de atrito (função de
e
),
– é a velocidade média no tubo,
– .
–
–
–
Também sabemos que
Passo 4
Para tubos rugosos e escoamento turbulento, usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain para
:
com
Fazendo uma iteração rápida:
- Chute inicial
. - Calcula
de . - Calcula
e recalcula . - Itera até convergir.
O resultado converge para
Passo 5
Agora calculamos a vazão:
Passo 6
Na subida, a bomba tem que vencer altura estática + perda de carga:
Potência hidráulica (água):
Como a eficiência é η=0,70, a potência de eixo é
Resposta
A potência da bomba é aproximadamente 14,8 kW.