Um sistema de transporte de água entre dois reservatórios, com diferença de nível de 12 m , é feito por uma tubulação de 1.100 m de comprimento e 0,20 m de diâmetro e uma bomba para o recalque. Observa-se que, para o fluxo ascendente, recalque, e para o fluxo descendente, escoamento por gravidade, a vazão é a mesma. Se o rendimento da bomba é de 70%, determine sua potência. Rugosidade absoluta da tubulação, e=0,25 mm.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos:
– Dois reservatórios com diferença de nível Δz = 12 m.
– Tubulação de comprimento L = 1100 m e diâmetro D = 0,20 m, rugosidade absoluta e = 0,25 mm.
– Na subida, a água é bombeada; na descida, escoa por gravidade. A vazão é a mesma nos dois casos.
– A eficiência da bomba é η = 70 %.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (perda de carga de Darcy–Weisbach, fator de atrito, número de Reynolds) e balanço energético (bomba).
Precisamos de:
  1. Igualar a perda de carga na descida à carga estática (12 m) para achar Q.
  2. Calcular a potência da bomba considerando eficiência.

Passo 2

Quando a água desce só pela diferença de nível, não há bomba e a energia disponível Δz é toda gasta em perda de carga:
hf = De
Aqui é a perda de carga total ao longo dos 1100 m.

Passo 3

A perda de carga de Darcy–Weisbach vale
hf = f,LD,V^22g,
onde
Q = V,A = V,pi D^24 é o fator de atrito (função de e ),
é a velocidade média no tubo,
.
Também sabemos que

Passo 4

Para tubos rugosos e escoamento turbulento, usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain para f = 0,25[log10(tfrace3,7D + tfrac5,74Re^0,9)]^2, :
Re = V Dnu, nu approx 1,0times10^-6,m^2/s
com
f approx 0,0218, V approx 1,405;m/s
Fazendo uma iteração rápida:
  1. Chute inicial .
  2. Calcula de .
  3. Calcula e recalcula .
  4. Itera até convergir.
O resultado converge para

Passo 5

Agora calculamos a vazão:
Q = V,pi D^24 = 1,405 times pi,(0,20)^24 approx 0,0441;m^3/s

Passo 6

Na subida, a bomba tem que vencer altura estática + perda de carga:
Hp = De
Potência hidráulica (água):
Ph = rho,g,Q,Hp = 1000 times 9,81 times 0,0441 times 24 approx 10,39;kW
Como a eficiência é η=0,70, a potência de eixo é
P = Pheta = 10,390,70 approx 14,84;kW

Resposta

A potência da bomba é aproximadamente 14,8 kW.

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