O sistema y(t)=\frac{d}{d t} y(t)=u(t) (derivador) é linear?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o derivador, que recebe entrada u(t) e fornece saída
y(t)=\frac{d}{dt}u(t),
é um sistema linear segundo a propriedade de superposição (aditividade e homogeneidade).

Passo 2

Definimos o operador T tal que
T\{u(t)\} = \frac{d}{dt}u(t).
Nosso sistema transforma cada sinal de entrada u(t) em um sinal de saída y(t)=T\{u(t)\}.

Passo 3

Testamos a aditividade: para dois sinais u_1(t) e u_2(t), temos
T\{u_1(t)+u_2(t)\} = \frac{d}{dt}\bigl(u_1(t)+u_2(t)\bigr) = \frac{d}{dt}u_1(t) + \frac{d}{dt}u_2(t) = T\{u_1(t)\} + T\{u_2(t)\}.

Passo 4

Testamos a homogeneidade: para um escalar a e um sinal u_1(t),
T\{a\,u_1(t)\} = \frac{d}{dt}\bigl(a\,u_1(t)\bigr) = a\,\frac{d}{dt}u_1(t) = a\,T\{u_1(t)\}.

Passo 5

Como o operador satisfaz ambas as propriedades — aditividade e homogeneidade — concluímos que ele é linear.

Resposta

Sim. O sistema derivador é linear.

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