O sistema y(t)=u^{2}(t) é linear?

Passo 1

O enunciado define um sistema que recebe como entrada u(t) e produz como saída
y(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{2}.
Para verificar se esse sistema é linear, precisamos lembrar que um sistema é linear se e somente se satisfaz 1. homogeneidade (ou seja, a saída para a\,u(t) deve ser a vezes a saída para u(t)) e 2. aditividade (a saída para u_{1}(t)+u_{2}(t) deve ser a soma das saídas para u_{1}(t) e para u_{2}(t)).

Passo 2

Testando a homogeneidade, considere a entrada escalada a\,u(t). A saída correspondente é
y_{a}(t)=\bigl(a\,u(t)\bigr)^{2}=a^{2}\,u^{2}(t).
Para homogeneidade deveríamos ter y_{a}(t)=a\,y(t)=a\,u^{2}(t). Como em geral a^{2}\neq a, essa igualdade falha (só ocorreria para a=0 ou a=1). Logo, a propriedade de homogeneidade não é satisfeita.

Passo 3

Testando a aditividade, considere as entradas u_{1}(t) e u_{2}(t). A saída para u_{1}(t)+u_{2}(t) é
y_{12}(t)=\bigl(u_{1}(t)+u_{2}(t)\bigr)^{2} =u_{1}^{2}(t)+2\,u_{1}(t)\,u_{2}(t)+u_{2}^{2}(t).
Já a soma das saídas individuais seria
y_{1}(t)+y_{2}(t)=u_{1}^{2}(t)+u_{2}^{2}(t).
Como há o termo cruzado 2\,u_{1}(t)\,u_{2}(t), a aditividade também não é satisfeita.

Resposta

Não, o sistema y(t)=u^{2}(t) não é linear.

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