A resposta de um sistema a tempo contínuo, sob condições iniciais nulas, para uma entrada do tipo rampa unitária é dada por
y(t)=20 t-30+40 e^{-10 t}-10 e^{-2 t}, \quad \forall t \geq 0
Aplique a Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá a saída
y(t)=20\,t - 30 + 40\,e^{-10t} - 10\,e^{-2t},\quad t\ge0,
e pede Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Vamos usar que a Transformada de Laplace é linear e as fórmulas básicas:
\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}, \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}.

Passo 2

Separamos os termos de y(t) e aplicamos linearidade:
Y(s)=\mathcal{L}\{20\,t\} \;+\;\mathcal{L}\{-30\}\;+\;\mathcal{L}\{40\,e^{-10t}\}\;+\;\mathcal{L}\{-10\,e^{-2t}\}.

Passo 3

Calculamos a parte polinomial:
\mathcal{L}\{20\,t\}=20\cdot\frac{1}{s^2}=\frac{20}{s^2}, \quad \mathcal{L}\{-30\}=-30\cdot\frac{1}{s}=-\frac{30}{s}.

Passo 4

Calculamos os termos exponenciais:
\mathcal{L}\{40\,e^{-10t}\}=\frac{40}{s+10}, \quad \mathcal{L}\{-10\,e^{-2t}\}=-\frac{10}{s+2}.

Passo 5

Somando todos os resultados obtemos
Y(s)=\frac{20}{s^2}-\frac{30}{s}+\frac{40}{s+10}-\frac{10}{s+2}.

Resposta

Y(s)=\frac{20}{s^2}-\frac{30}{s}+\frac{40}{s+10}-\frac{10}{s+2}.

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